Моделирование тепловых процессов при наплавке порошковой проволокой (стр. 5 из 17)

Из формулы (1.12) видно, что:

,

а из модели нагрева сердечника заключаем, что:

.

Тогда уравнение теплового баланса можно упростить. В итоге получим:

Обозначим отношение массы сердечника к массе оболочки проволоки через К_с, т.е.:

,

а отношение массы изолирующей прослойки к массе оболочки проволоки через K_n, т.е.:

Тогда уравнение теплового баланса примет вид:

,

где

плотность тока, А/м².

Подставляя в полученное уравнение выражение (1.10), будем иметь:

Введем обозначения:

,

,

.

Тогда уравнение можно записать в виде:

.

Решение полученного дифференциального уравнения проведем методом разделения переменных. Имеем:

Интегрируя это выражение, получим:

;

.

Используя обозначение С_об=В/А, окончательно получим:

. (2.1)

Это и есть математическая модель нагрева оболочки порошковой проволоки.

Положив начальную температуру Т₀=0, будем иметь:

. (2.2)

Поскольку:

где

-диаметр порошковой проволоки, м;

-толщина оболочки, м,

то

. Тогда коэффициенты А и С_об будут вычисляться по формулам:

, (2.3)

. (2.4)

Если потерями тепла с боковой поверхности порошковой ленты пренебречь, то коэффициенты А и С_об будут такими:

,

Если, кроме того, используется порошковая проволока без изолирующей прослойки, то коэффициент А будет вычисляться следующим образом:

. (2.5)

Из уравнения (2.5) можно найти плотность тока:

. (2.6)

2.2 Модель нагрева сердечника порошковой проволоки

Для решения уравнения (1.3) с подстановками формул (1.4) - (1.9) необходимо знать зависимость температуры сердечника

от времени t или от температуры оболочки Т_об.

Для установления такой зависимости необходимо решить дифференциальное уравнение теплопроводности Лапласа:

, (2.7)

где

- коэффициент теплопроводности сердечника, м²/с; -оператор Лапласа.

Следовательно имеем систему двух дифференциальных уравнений (1.3), (2.7) с двумя неизвестными функциями времени Т_об и Т_с. Решение данной системы упрощается вследствие того, что по экспериментальным данным известен закон изменения температуры Т_об на вылете:

, (2.8)

где длина вылета, м;

скорость плавления (подачи) порошковой проволоки, м/с;

- неизвестные постоянные коэффициенты, зависящие от режима наплавки.

Зависимость (2.8) будет задавать краевые условия для дифференциального уравнения (2.7). Введем цилиндрическую систему координат, началом отсчета в которой является токоподвод, осью аппликат - ось порошковой проволоки, ее положительное направление совпадает с направлением подачи проволоки. Выбор нуля полярного радиуса несущественен. Оператор Лапласа в этой системе координат примет вид:

.

Для элементарного участка длиной

можно допустить, что распределение температуры по длине равномерно. Тогда:

.

Таким образом, для сердечника порошковой проволоки уравнение теплопроводности (2.7) в цилиндрических координатах будет иметь вид:

, (2.9)

где

полярный радиус.

Необходимо найти решение дифференциального уравнения (2.9) при следующих краевых условиях:

; (2.10)

; (2.11)

где

,

; (2.12)

. (2.13)

В формуле (2.11) 2R - это диаметр сердечника порошковой проволоки. Формула (2.12) задает условие ограниченности температуры сердечника. Формула (2.13) задает условие симметричности, которое означает, что теплообмен между поверхностями сердечника и оболочки проволоки происходит со всех сторон одинаково. Это условие отражает тот факт, что форма сердечника представляет собой прямой круговой цилиндр и что температура нагрева не зависит от полярного угла, а изотермами сердечника являются поверхности вращения.

Для решения уравнения (2.9) используем новые переменные-безразмерные критерии:

безразмерное время нагрева или критерий Фурье:

; (2.14)

безразмерная скорость нагрева или критерий Предводителева:

; (2.15)

относительный радиус:

; (2.16)

относительная безразмерная температура нагрева сердечника:

; (2.17)

Подстановка этих переменных в уравнение (2.9) с соответствующими краевыми условиями (2.10) - (2.13) приводит к уравнению:

, (2.18)

с краевыми условиями

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Представим функцию

в виде суммы общего решения уравнения (2.18) и частного решения

.

Функции

и должны удовлетворять уравнению (2.18) при их подстановке в отдельности вместо .

Для нахождения общего решения

решим уравнение (2.18) методом разделения переменных [16]. Для этого решение будем искать в виде: