Моделирование тепловых процессов при наплавке порошковой проволокой (стр. 6 из 17)
, (2.23)где
функция только от 
; 
функция только от F0.Подстановка (2.23) в уравнение (2.18) дает:
.От уравнения в частных производных можно перейти к обыкновенному дифференциальному уравнению:
Откуда получим
или
. (2.24)Уравнение (2.24) представляет собой известное в математической физике уравнение Бесселя [17], решение которого представляется специальными функциями:
, (2.25)где
модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; k0 - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Функции Бесселя не выражаются не через элементарные функции, но они протабулированы с большой точностью [18], что позволяет их использовать в расчетах.Используя краевые условия (2.20), (2.21), найдем постоянные коэффициенты
и 
. При 
функция: 
.Подставляя
в (2.21), получим: 
.Поскольку
, следовательно, 
Тогда
для любого значения 
. Поскольку 
, то условие (2.21) выполнено.Используя условие (2.20), имеем
, т. е 
. Тогда на основании (2.25) 
. Откуда:
.Подставляя полученные значения
и 
в выражение (2.23), получим: 
. (2.26)Частное решение уравнения (2.18) будем искать в виде ряда Фурье:
, (2.27)гдеAn=Bn×I0 (mn×h), Bn- постоянные коэффициенты; I0-функция Бесселя первого рода нулевого порядка; mn-корень характеристического уравнения I0 (mn) =0. Значения корней mn для n=1…40 вычислены с большой точностью и сведены в таблицы [18]. Функция I0 (h) протабулирована [18, 19].
Из уравнения (2.22) имеем:
.Тогда начальное условие (2.18) для функции V (0,h) будет таким:
. (2.28)А выражение (2.27) при F0=0 примет вид:
. (2.29)Коэффициент Вn ряда Фурье (2.27) находится по формуле
, (2.30)где I1 - функция Бесселя первого рода первого порядка.
Подставим выражение для V (0,h) (формула (2.28)) в формулу (2.30) и получим:
,или
. (2.31)При интегрировании воспользуемся известными интегралами Бесселя [19]:
; 
. (2.32)Итак, будем иметь:
. (2.34)Подставляя полученные значения интегралов (2.33), (2.34) в выражение (2.31) для
, получим: 
Тогда для коэффициента
получим выражение: 
,а частное решение (2.27) будет иметь вид:
. (2.35)Подставляя значение
из формулы (2.26) и значение 
из формулы (2.35) в выражение для 
, получим: 
. (2.36)Это выражение позволяет рассчитать относительную безразмерную температуру в любой точке сердечника порошковой проволоки, находящейся на вылете.
2.3 Анализ решения дифференциального уравнения теплопроводности
1. Выполним анализ решения уравнения (2.36). 1 Общее решение уравнения теплопроводности:
пропорционально безразмерной температуре оболочки, т.е. граничному условию (2.20). Это слагаемое можно назвать регулярной составляющей безразмерной температуры
.2. Частное решение уравнения теплопроводности:
отражает внутреннее тепловое состояние сердечника перед началом нагрева, т.е. начальное условие (2.19). Это слагаемое можно назвать нерегулярной составляющей безразмерной температуры
.3. Слагаемые
и по разному зависят от времени нагрева (т.е. от числа Фурье F0). Регулярная составляющая пропорциональна 
и увеличивается с ростом F0 по экспоненциальной зависимости, т.е. очень быстро. Нерегулярная составляющая пропорциональна 
, напротив, с ростом F0 очень быстро уменьшается. Следовательно, существует такое значение числа Фурье, за которым нерегулярная составляющая становится пренебрежительно малой. Эта граница считается началом наступления регулярного режима нагрева сердечника. Регулярным режимом можно считать нагревание, когда нерегулярная составляющая составляет не более 5% регулярной, т.е.: 
. (2.37)4. На оси порошковой проволоки, т.е. при
выражение (2.36) примет вид: 
. (2.38)Из (2.37) следует, что температура нагрева оси проволоки обладает двумя характеристиками:
она минимальна в данном элементарном участке, т.к
она наиболее зависит от
, т.е. от начального распределения температур, поскольку 
.Пользуясь формулой (2.38) можно, задаваясь скоростью нагрева (т.е. числом
), вычислить наступление регулярного режима на оси порошковой проволоки, а, следовательно, для всего вылета: 
. (2.39)Числовые значения членов ряда в выражении (2.39) быстро уменьшаются с возрастанием номера члена, так как при этом возрастает значение mn. Поскольку ряд знакопеременный, то он быстро сходится. Кроме того, для больших значений критерия Фурье F0 ряд сходится быстрее, чем для малых. Уже при F0 = 0,2 каждый последующий член ряда составляет не более 2-3% предыдущего. Поэтому можно учитывать лишь первый член этого ряда. Тогда от неравенства (2.39) можем перейти к выражению: