I. Цель работы
1. Освоение основных элементов систем массового обслуживания
2. Изучение основных принципов моделирования систем массового обслуживания на ПЭВМ
3. Получение практических навыков моделирования на примере исследования торгового центра
Системой массового обслуживания (СМО) называется система, на которую в случайные моменты времени поступают заявки, нуждающиеся в том или ином виде обслуживания в течение некоторого случайного отрезка времени. Из- за случайного характера потока заявок в системе, в какие-то моменты времени могут возникнуть очереди, а в другие моменты система может работать с недогрузкой или вообще простаивать. Поэтому на практике возникают насущные задачи количественной оценки эффективности работы таких систем. СМО должна обеспечить минимизацию суммарных затрат, связанных с ожиданием и потерями от простоя средств обслуживания.
М
Рис 1. Функциональная схема СМО
Где
- интенсивность потока заявок (среднее количество заявок, поступивших в единицу времени)М – интенсивность обслуживания заявок (среднее количество заявок, обслуживаемых прибором в единицу времени)
Входной поток заявок представляет собой последовательность однородных событий следующих одно за другим в случайные моменты времени t0< t1, < t2….<tn
t
t0 t1t2……...ti-1 ti …………..tn
Рис.2 Входной поток заявок
Где τi= ti-ti-1 - интервал между двумя соседними моментами поступления заявок
Если τi= const, то токай поток называется регулярным. Если τiменяется случайным образом , то такой поток называется случайным .
Случайный поток называется простейшим или стационарным Пуассоновским потоком, если он обладает свойствами:
· Стационарности
· Безпоследействия
· Ординарности
Свойство стационарности означает, что все вероятностные характеристики потока не зависят от времени. Свойство безпоследействия означает, что все события являются независимыми друг от друга, т.е. появление каждого события не зависит от предистории. Свойство ординарности означает, что все события наступают (заявки приходят) поодиночке. Поэтому интервалы времени поступления заявок в Пуассоновском потоке распределены по экспоненциальному закону с плотностью- вероятностью
f(τ)=λe-λτ,(1)
где λ– интенсивность потока:
τ>0 -интервал времени поступления заявок.
Для моделирования интервала поступления заявок используется формула:
τi=-
ln(xi) (i=1,n) (2)где xi-случайные числа равномерно-распределенные в интервале [0,1].
Тогда поступление заявок определяется по формуле
Для получения случайных чисел х необходимо обратиться к стандартной функции или генератору случайных чисел, равномерно-распределенных в интервале RND(x).
Очередь – это линейная цепочка выстроившихся в ряд один за другим заявок, нуждающихся в том или ином виде обслуживания. Законы, по которым регламентируется поведение очереди образуют дисциплину обслуживания в очереди. Разделяют дисциплину заполнения очереди и дисциплину выбора заявок из очереди.
Дисциплина заполнения очереди включает 4 типа:
· Естественную форму заполнения очереди, когда пришедшая заявка встает в очередь последней одна за другой
· Кольцевую форму заполнения очереди, когда заявка становится первой в очередь, если вся очередь полностью заполнена
· Поисковую форму заполнения очереди, когда заявка встает в очередь на свободное место
· Приоритетную форму заполнения очереди, когда заявки с высшим приоритетом встают в очередь первыми по отношению к заявкам с низшим приоритетом.
Дисциплина выбора заявок из очереди предусматривает 3 принципа:
· «первым пришел – первым обслужен»
· «последним пришел – последним обслужен»
· по приоритету, т.е. заявки с высшим приоритетом обслуживаются первыми.
При этом бывают абсолютные приоритеты и относительные приоритеты. Заявки с абсолютным приоритетом полностью выбивают заявки с низшим приоритетом, которые в последствии покидают систему и не обслуживаются. Заявки с относительными приоритетами выбивают заявки с низшим приоритетом, которые в последствии либо дообслуживаются, либо обслуживаются заново.
Прибор или канал обслуживания – это устройство, в котором проводится непосредственное обслуживание заявки. В зависимости от количества приборов обслуживания системы массового обслуживания разделяются на одноканальные, однофазные, многоканальные, многофазные и смешанные или комбинированные. В многоканальных системах несколько приборов обслуживания соединены параллельно, а в многофазных – последовательно.
Основной характеристикой прибора обслуживания является продолжительность обслуживания, т.е. среднее время обслуживания одной заявки τобс, которая равна
τобс =
(3)где М – интенсивность обслуживания.
Выходной поток заявок характеризуется потоком обслуженных и не обслуженных заявок. Но данные характеристики не позволяют судить о качестве функционирования СМО. Поэтому в качестве входного потока используются различные вероятностные характеристики качества обслуживания:
А – абсолютная пропускная способность системы , т.е. среднее количество заявок обслуженных в единицу времени
q– относительная пропускная способность , т.е. средняя доля обслуженных заявок
Ротк – вероятность отказа системы
Робс – вероятность обслуживания
- среднее количество заявок в очереди 
ож –среднее время ожидания в очереди сист -среднее время пребывания заявок в системе 
-среднее количество занятых каналов обслуживанияКпр-коэфицент простоя системы
Методы моделирования СМО
Для моделирования СМО на ЭВМ ее процесс функционирования преобразуется в моделирующий алгоритм, с помощью которого имитируются все элементарные явления составляющие данный процесс. При этом в алгоритме сохраняется логическая структура, последовательность протекания во времени, характер и состав информации о состояниях процесса.
Моделирующий алгоритм представляется в виде структурной схемы (блок- схемы),содержащей последовательность блоков, каждый из которых отображает одну или группу элементарных операций. При моделировании СМО на ЭВМ используются три основных метода:
1. Принцип ∆t
2. Принцип особых состояний
3. Принцип последовательной проводки заявок
Согласно принципу ∆tпроцесс перехода системы из одного состояния в другое рассматривается во времени на каждом шаге ∆t, начиная с момента времени t0. Конкретное состояние системы Si(t)выбирается по жребию. Так, если система имеет состояния: S1- поступление заявки, S2-освобождение прибора и т.д. то на оси времени (Рис.3)через каждые интервалы ∆tпо жребию определяется наступило это состояние или нет. Если да, система переводится в это состояние, а если нет, то делается новый шаг ∆tи так далее.
∆t ∆t
t 
t0t1t2t3t4t5 ………………... tn