Моделирование электрических цепей в системе Mathcad (стр. 2 из 6)

– ввод нижнего индекса;

– вычисление обратной матрицы;

– вычисление определителя матрицы: ;

вычисление длины вектора |х|, |х|²=

;

– поэлементные операции с матрицами: если А={а_ij}, B={b_ij}, то ;

– определение столбца матрицы: М^<j> – j-й столбец матрицы;

– транспонирование матрицы: М={m_ij}, M^T={m_ji},

– вычисление скалярного произведения векторов: ;

– вычисление векторного произведения двух векторов: a´b=(a₂b₂ – a₃b₂ –a₂b₁ –a₁b₂ –a₂b₁);

– вычисление суммы компонент вектора: ;

– определение диапазона изменения индекса переменной;

– визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции для матрицы.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix (m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m´n, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f (i, j) функции f (x, y);

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment (A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

staсk (А, В) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

submatrix (A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir£jr, ic£jc.

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN=1.

Функции вычисления числовых характеристик матриц:

last(v) – вычисление номера последней компоненты вектора v;

legth(v) – вычисление количества компонент вектора v;

rows(A) – вычисление числа строк в матрице А;

cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице А;

max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице А;

min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице А;

tr(A) – вычисление следа квадратной матрицы А^*;

rank(A) – вычисление ранга матрицы А;

norm1 (A), norm2 (A), norme(A), normi(A) – вычисление норм квадратной матрицы А.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняет элементарные операции со строками матрицы);

eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратной матрицы А;

eigenvecs(A) – вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, порядок следования которых отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);

eigenvec (A, l) – вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению l;

lsolve (A, b) – решение системы линейных уравнений Ax=b.

Задание 1. Определить матрицу А размером 3´3 с помощью панели Matrix и трансформировать ее.

Создать матрицу В размером 3´3 с помощью функции Matrix.

Вычислить суммы А+В и В+А, произведения АВ и ВА, исследовать матрицы на симметричность.

Задать единичную матрицу Е 3-го порядка, вычислить произведения ЕА и АЕ.

Сформировать вектор v, представляющий 2-й столбец матрицы А, и диагональную матрицу diag(v).

Определить матрицы С иD, используя функции augment (A, V) и staсk (A, V^T).

Решить систему АХ=V, используя обратную матрицу А^-1 и функцию isolve (A, b).

2. Основные элементы схемы и понятия

2.1 Двухполюсные пассивные элементы

Основными пассивными (двухполюсными) элементами схемы являются сосредоточенные, не зависящие от времени резисторы, индуктивности и емкости.

Резистором называют элемент, для которого текущий ток i и приложенное напряжение u связаны законом Ома:

(2.1)

где R– сопротивление резистора, измеряемое в Омах (Ом), а G– проводимость, измеряемая в Сименсах (См). Напряжение u измеряется в Вольтах (В), а ток i в Амперах (А).

Положительное направление показано на рис. 2.1:

Рис. 2.1

Индуктивность обозначается L и измеряется в Генри (Гн):

Рис. 2.2

Для линейной индуктивности напряжение и ток связаны соотношением

(2.2)

Емкость обозначается с и измеряется в Фарадах (Ф):

Рис. 2.3

Напряжение и ток в емкости описываются уравнением

(2.3)

Соотношения (2.1), (2.2), (2.3) определяют характеристики компонент (схемы), их называют компонентными уравнениями.

Следует заметить, что дифференциальные соотношения (2.2), (2.3) между токами и напряжениями на индуктивности и емкости преобразованием Лапласа преобразуются в алгебраические:

.

Начальные значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях учитываются дополнительными источниками.

Индуктивные и емкостные сопротивления определяются следующим образом:

. (2.4)

Для расчета установившегося режима в линейных цепях при синусоидальном воздействии полагаем S=jω и пренебрегаем начальными токами i_L(0+)=0 и напряжениями u_c(0+)=0.

2.2 Независимые источники

Независимый источник напряжения (ЭДС) обеспечивает заданное значение напряжения на его полюсах независимо от того, какой ток течет через него (рис 2.4):

Рис. 2.4

Независимый источник тока создает заданный ток, а напряжение на его полюсах зависит от цепи, подключенной к источнику (рис 2.5):

Рис. 2.5

2.3 Схемы замещения реальных источников

Независимые источники идеальны и физически нереализуемы. Однако они могут быть использованы для моделирования реальных источников при добавлении других идеальных элементов. Одна из моделей источника напряжений, показанная на рис. 2.6, а, называется схемой Тавенена. Здесь Z_b моделирует внутреннее сопротивление источника (U=E при I=0,

, гдеI_кз- ток при U=0).

Рис. 2.6

Модель реального источника на рис. 2.6, б, где сопротивление Z_b включен параллельно идеальному источнику тока, называется схемой Нортона, а

– ток источника тока.