Моделирование электрических цепей в системе Mathcad (стр. 3 из 6)
2.4 Зависимые источники
1. Источник напряжения, управляемый напряжением или идеальный усилитель (ИНУН). Уравнения этого четырехполюсника:
i1=0 u2=Ku×u1,
где Кu– коэффициент передачи по напряжению
В матричной форме:
(2.5)На рис. 2.7 приведена схема ИНУН:
Рис. 2.7.
2. Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН). Уравнения этого четырехполюсника:
i1=0 i2=g×u1,
где g – передаточная проводимость.
В матричной форме:
. (2.6)Его схема приведена на рис. 2.8:
Рис. 2.8.
3. Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Его уравнения:
u1=0 u2=r×i1
или
, (2.7)где r– передаточное сопротивление.
На рис. 2.9 приведена схема ИНУТ:
Рис. 2.9.
4. Источник тока, управляемый током (ИТУТ) или идеальный усилитель тока (рис. 2.10). Его уравнения:
u1=0 i2= Кii1
или
, (2.8)где Кi– коэффициент передачи по току.
На рис. 2.10 приведена схема ИТУТ:
Рис. 2.10
2.5 Элементарные четырехполюсники
1. Идеальный трансформатор определяется с помощью уравнений
U1=±n×U2, I1= 
или
(2.9)На рис. 2.11 приведена схема трансформатора (а) и его эквивалентная схема (б):
(а) Рис. 2.11 (б)
Гиратор определяется как четырехполюсник, для которого справедливы уравнения:
I1=-g2×U2I2=g1×U1.(2.10)
Гиратор можно представить с помощью двух ИТУН (рис. 2.12):
Рис. 2.12
Если постоянные гирации равны, т.е. g1=g2=g, то гиратор называется идеальным. Уравнения (2.10) можно переписать в форме:
(2.11)а схема гиратора приведена на рис. 2.13:
Рис. 2.13.
2.6 Операционный усилитель
К активным многополюсникам относится операционный усилитель (ОУ), имеющий дифференциальный вход с очень большим входным сопротивлением, малое выходное сопротивление и высокий коэффициент усиления. Условное обозначение ОУ и его схема замещения приведены на рис. 2.14:
Рис. 2.14.
2.7 Законы электрических цепей
Ток
и напряжение 
относятся к некоторой обобщенной k-ой ветви, содержащей источник тока и источник ЭДС (рис. 2.15): 
Рис. 2.15.
Согласно первому закону Кирхгофа применительно к узлу m’ (или n’) на рисунке, имеем:
(2.12)
Согласно второму закону Кирхгофа для контура, проходящего по проводникам ветви kот узла m к n, и по внешнему пространству – от узла n к m, имеем:
(2.13)Последние выражения связывают токи и напряжения в обобщенных ветвях графа, изображаемых в графе схемы отрезками, с токами и напряжениями ветвей и источниками тока и ЭДС, когда таковые содержатся в исходной схеме.
При записи уравнений, согласно законам Кирхгофа для графа схемы будем иметь в виду, что в эти уравнения войдут токи и напряжения обобщенных ветвей схемы цепи. Следовательно, для графа схемы можно написать:
и 
или 
и 
. (2.14)В случае установившихся процессов мгновенные значения токов и напряжений заменяются их комплексными действующими значениями, при применении преобразования Лапласа их операторными изображениями (хотя в последнем случае необходимо начальные условия токов на индуктивностях и напряжения на емкостях учитывать дополнительными источниками), и в этом случае уравнения (2.14) принимают вид:
.(2.14а)2.8 Функции цепи. Полюсы и нули
Функции цепи определяются для схем, не имеющих начальных напряжений на емкостях и токов в индуктивностях.
Используя символические выражения ZL=s×L, YC=s×C и допуская, что существует единственный источник, определяем функции цепи следующим образом:
– входное сопротивление; (2.15) 
– входная проводимость; (2.16) 
– коэффициент передачи по напряжению; (2.17) 
– коэффициент передачи по току; (2.18) 
– передаточное сопротивление; (2.19) 
– передаточная проводимость. (2.20)Если цепь состоит из сосредоточенных элементов, то все функции цепи представляют собой рациональные функции от S:
. (2.21)Полином в числителе имеет n корней zi, называемых нулями, а полином в знаменателе – m корней рi, называемых полюсами.
С точностью до постоянного множителя k расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости полностью определяет свойства функции цепи.
Отклик линейной схемы на синусоидальное воздействие можно рассчитать, положив в выражении для функции цепи S=jw, тогда
, (2.22)где А(ω) – четная, а В(ω) – нечетная функции ω.
Модуль функции F:
. (2.23)Фазовый сдвиг определяется по формуле:
. (2.24)Выражение (2.22) можно записать в виде
. (2.25)Когда частоту w рассматривают, как независимую переменную,
и f(w) называют амплитудной и фазовой характеристиками цепи.Групповая задержка определяется следующим образом:
. (2.26)3. Формирование уравнений цепи на основе теории графов
3.1 Граф схемы и некоторые его подграфы
При разработке машинных методов анализа электрических цепей можно определить некоторые их свойства, рассматривая только структуры цепи. Теория графов является для этого удобным средством.
Для описания топологии (структуры) цепи заменим каждую ветвь схемы отрезком линии, называемым ветвью графа, а узлы точками – узлами (вершинами) графа.
Эта совокупность ветвей и узлов, представляющая топологию цепи, называется графом.
Графы называют изоморфными, если их топологические свойства одинаковы.
Графы, у которых все ветви ориентированы, называют ориентированными. В противном случае граф считают неориентированным. Планарным называют граф, который в результате изоморфных преобразований может быть изображен на плоскости без пересечения ветвей. Планарной электрической схеме соответствует планарный граф. На рис. 3.1 показана схема электрической цепи (а) и ее ориентированный граф (б):
