Моделирование электрических цепей в системе Mathcad (стр. 5 из 6)
Система из 2 р уравнений, включающая в себя уравнения, записанные согласно законам Кирхгофа, и уравнения, характеризующие связи между токами и напряжениями элементов электрической цепи, и есть полная система уравнений электрической цепи, или полная математическая модель этой цепи.
3.4 Узловые уравнения
Для формирования системы уравнений относительно узловых напряжений выразим
через параметры пассивных и активных элементов обобщенных ветвей: 
.Согласно первому закону Кирхгофа, для узлов графа
AI=-AJили AYU=-AJ.
Теперь напряжение на ветвях определим через узловые потенциалы:
U=AT×j+Е.
Таким образом, получаются уравнения
AY×AT×j=AJ-AY×E, (3.14)
которые называют узловыми уравнениями.
Если ввести обозначения
– Yy=AY×AT– матрица узловых проводимостей,
– Jy=AJ-AY×E– матрица узловых токов,
то узловые уравнения запишутся кратко:
Yyj=Jy.(3.14a)
При выполнении узлового анализа на ЭВМ обычно не строятся матрицы A и Y и не выполняют матричные умножения, а непосредственно пользуются правилами составления узловых уравнений:
1. Диагональные элементы матрицы Yу положительны и Yjj равны сумме проводимостей ветвей, подключенных к j-муузлу.
2. Внедиагональные элементы матрицы Yy отрицательны и Yjk равны сумме проводимостей ветвей, включенных между j-м иk-м узлами.
3. Произвольный элемент вектора тока Jy с номеромjJjравны суммеузловых токов, втекающих в j-узел.
Тогда l-я ветвь, направленная от узла j к узлу k, приводит к следующему вкладу в матрицы Yyи Jy:
Так составляются уравнения по методу узловых потенциалов последовательным перебором топологического списка ветвей схемы.
Потенциалы узлов jkравны напряжениям Vk между q-1 узлом и опорным узлом.
3.5 Контурные уравнения
Уравнения на основе второго закона Кирхгофа
CU=CE,
уравнение закона Ома
U=Z×I
и соотношение
подставим в контурное уравнение и получим:
.Токи в обобщенных ветвях определим через контурные токи:
.Так получаются контурные уравнения:
. (3.15)Если ввести обозначения
Zk=СZ×СT– матрица контурных сопротивлений,
Ek= СE-СZ×J– матрица контурных ЭДС, то контурные уравнения запишутся в виде:
. (3.15а)В матричной форме решения для контурных токов
(3.16)выражают принцип наложения.
3.6 Независимые токи и напряжения
Запишем уравнения ЗКТ, используя матрицу главных сечений:
D×I=0,
где I – вектор токов ветвей.
Разделив матрицу на блоки, получим:
или
IP= – F×IX.(3.17)
Токи ребер графа выражаются через токи хорд:
(3.17а)Токи хорд можно рассматривать как независимые переменные.
Уравнения, составленные по ЗКН,
CU=0,
где U – вектор напряжений на всех ветвях, использовав блочное представление матрицы С, запишем:
.Напряжение на ветвях хорд выражаются через напряжения на ветвях ребер:
UX=FT×UP. (3.18)
Напряжение на ветвях можно представить:
.Из последнего, с учетом D=[l×F], следует:
U = DT×UP. (3.18а)
Напряжения, соответствующие ребрам графа, можно рассматривать как независимые переменные.
3.7 Типы ветвей
Y-ветвью называют ветвь, представленную проводимостью и описываемую компонентными уравнениями для токов. Ветвь включает проводимости, ветвь ИТУН, ветвь ИТУТ, независимые источники тока (рис. 3.10).
,где 
- коэффициент передачи по току;
gij – передаточная проводимость.
В матричной форме уравнения для Y ветвей:
. (3.19)В матрицу проводимостей Y включены проводимости ветвей и и передаточные проводимости. К этим уравнениям присоединяются уравнения многополюсников в Y-форме.
IM=YM×UM.
Рис. 3.10.
Z-ветви характеризуются сопротивлениями и описываются напряжениями.
Обобщенная 2-полюсная Z-ветвь показана на рис. 3.11:
Рис. 3.11.
,где rji– передаточное сопротивление;
– коэффициент передачи по напряжению.Уравнение Z-ветвей в матричной форме имеет вид:
UZ=Z×IZ+KU×UY-E.(3.20)
В Z матрицу входят сопротивления ветвей и передаточные сопротивления. Уравнения Z-ветвей дополняются уравнениями многополюсников в Z-форме.
UM=ZM×IM
Компонентные уравнения обобщенных ветвей:
. (3.21)3.8 Модифицированный метод узловых потенциалов
(Расширенное узловое уравнение)
В расширенном узловом уравнении переменными являются потенциалы узлов и токи Z-ветвей.
Компонентные уравнения, связывающие токи и напряжения Y- и Z-ветвей:
IY=Y×UY+KI×IZ-J
UZ=Z×IZ+KU×UY-E.
Если первые номера присваиваются Y-, а последующие Z-ветвям, то матрица соединений и вектор-столбец токов могут быть представлены двумя подматрицами:
; 
,а уравнение по первому закону Кирхгофа примет вид:
. (3.22)Преобразуем это уравнение с учетом закона Ома для Y-ветвей:
.Тогда, принимая во внимание
, получим: 
. (3.23)Закон Ома для Z-ветвей:
с учетом
приводит к уравнению 
. (3.24)Уравнения (3.23) и (3.24) объединяются в одно уравнение, получаем расширенное узловое уравнение (РУУ):
. (3.25)Поставив I1 и I3 в первое уравнение, получим расширенное узловое уравнение:
или в матричной форме:
.Учитывая, что ветви 1, 2, 3, 4 – Y-ветви, а 5, 6 – Z-ветви, запишем матрицу соединений, разделив ее на Ay- и Az-подматрицы:
= [Ay, Az].Приведем матрицы проводимостей ветвей Y, сопротивлений Z и коэффициентов передачи КI и КU:
, 
, 
, 
.