Моделирование электрических цепей в системе Mathcad (стр. 1 из 6)
Учебное пособие
"Моделирование электрических цепей в системе MathCAD"
Введение
Большинство проблем, связанных с анализом схем электрических цепей, решается в два этапа. Первый этап заключается в составлении уравнений электрической цепи в форме, позволяющей использовать законы Кирхгофа и характеристики элементов, входящих в схему. Полученные на этом этапе уравнения представляют математическую модель цепи. Второй этап заключается в решении этих уравнений путем подходящих аналитических или численных методов. При машинном анализе электрических схем оба этапа могут выполняться ЭВМ, а программу общего анализа часто называют машинной моделью.
В настоящее время имеется достаточно много пакетов программ (PSpice, ElectronicWorkbench, P-Cad) для решения электрических (электронных) схем.
Любая такая программа машинного анализа схем признает и допускает лишь базовый на6ор схемных элементов, для которых она была разработана.
Чем больший базовый набор допускает программа, тем более многофункциональной она становится.
В случае, если схема содержит элементы, не входящие в базовый набор, следует заменить каждый такой элемент некоторой «эквивалентной схемой» на основе базовых элементов. Это часто невозможно, однако, в большинстве практических случаев считается возможным заменить каждый не допускаемый элемент «почти эквивалентной схемой», называемой схемной моделью. При разработке схемной модели необходимо, чтобы она имела такое же количество полюсов, что и рассматриваемый элемент, состояла лишь из элементов, входящих в базовый набор, чтобы результирующая схема аппроксимировала характеристики соответствующего элемента с переменной точностью.
Выбор наиболее подходящей модели зависит от ее правильного соответствия режима работы цепи: динамическому переходному режиму, установившемуся синусоидальному режиму или режиму постоянного тока.
Для синтеза нелинейных моделей по переменному току возможны два подхода, которые качественно согласуются с режимом работы реальных элементов: это физический метод и метод «черного ящика».
В физическом методе делается попытка преобразовать физическую структуру и механизм работы данного прибора (элемента) в схемную модель.
В методе «черного ящика» полная характеристика схемной модели и моделируемого элемента, полученная экспериментально, должны совпадать с заданной степенью точности. При этом сначала строится статическая модель, а затем для построения модели по переменному току к ней добавляются паразитные ёмкости и индуктивности в существенно важных местах и нет необходимости понимать внутренний физический механизм работы прибора.
Успешное моделирование элементов цепи и создание их схемных моделей позволяет разработать электрическую схему, состоящую только из базовых элементов, которая используется при формировании математической модели (системы уравнений, адекватно описывающей процессы рассматриваемой цепи).
Использование пакета MathCAD в практикуме по решению задач электрических цепей позволяет при освоении курса разделить этапы формирования уравнений и численного их решения, избавляя от рутинных вычислений.
Самостоятельное формирование (моделирование) уравнений, основанных на топологии, способствует их успешному освоению, а возможность изменения численных методов их решения – подходящему их выбору.
Такой подход может быть плодотворным при освоении методов анализа электрических цепей и разработке новых.
1. Элементы теории матриц
1.1 Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Элемент с номерами ijматрицы А,аij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца:
. (1.1)Матрица размера (m´n) (или m´n– матрица) имеет m строк и n столбцов. У квадратной матрицы m=n. Если аij=0 при i≠j, то квадратная матрица диагональная. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны 1, матрица называется единичной:
. (1.2)Если у квадратной матрицы расположенные выше (ниже) главной диагонали элементы равны нулю, то матрица – нижне – (верхне-) треугольная:
. (1.3)Если у матрицы лишь один столбец или строка, в этом случае она называется столбцовой или строчной, или вектор-столбец, или вектор-строка, или просто вектор.
Вектор-столбец:
. (1.4)Вектор-строка:
. (1.5)Матрица АТ называется транспонированной к А, если элемент аijматрицы А равен элементу аjiматрицы АТ для всех i и j
Пример 1.1. Если
.Матрица А называется симметричной, если А=АТ, в противном случае – несимметричной.
При А=-АТ – матрица кососимметричная.
1.2 Арифметические операции над матрицами
1.2.1 Сложение
Сумма матриц А и В
С = А + В (1.6)
получается сложением каждого элемента матриц А и В одного размера m´n, т.е.
для всех i и j.Операция сложения матриц коммутативна
А + В = В + А (1.7)
и ассоциативна
А + (В + С) = (А + В) + С, (1.8)
а также
(А + В)Т = АТ + ВТ. (1.9)
1.2.2 Умножение матриц
Произведение С = А×В может быть получено тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Если А размера m´t и В размера t´n, то матрица С = А×В определяется формулой
. (1.10)Заметим, что в общем случае А×В ≠ В×А.
Если А×В=В×А, то матрицы коммутирующие или перестановочные.
Умножение обладает свойствами:
А×(В×С) = (А×В) ×С (1.11)
ассоциативности и
(А+В) ×С=А×С+В×С и А×(В+С)=А×В+А×С (1.12)
дистрибутивности.
1.2.3 Умножение на скаляр
Умножение матрицы (А) на скаляр b означает, что каждый элемент матрицы умножается на скаляр
(1.13)1.2.4. Вычисление определителей
Пусть А – квадратная матрица порядка n, n>1:
.Определителем квадратной матрицы А порядка n, n>1 называется число
где
– определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-того столбца.Формулу
называют формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число 
называется алгебраическим дополнением элемента a1j.1.2.5 Обращение матрицы
Если А и В-две квадратные матрицы порядка n, такие, что
А×В=Е, (1.14)
то говорят, что В-матрица, обратная к А, и обозначается через
В=А-1 ,(1.15)
заметим, что А×А-1=А-1×А=Е,
(1.16)где D=detА (определитель матрицы А);
– алгебраическое дополнение элемента аij., а Мijминор к элементу aij (определитель, полученный из А удалением i-й строки и j-ого столбца.Обращение обладает свойствами:
(1.17)А-1 существует, если detA¹0.
Если detA=0, то матрица особенная.
1.3 Матричное представление линейных уравнений
Система линейных уравнений может быть записана в виде матричного уравнения:
А×Х=В. (1.18)
Ее решение получаем, умножая обе части равенства слева на А-1:
А-1×А×Х=1×Х=А-1×В,
то есть:
Х=А-1×В. (1.19)
Это удобный способ выразить решение Х, но существуют методы решения значительно лучше, чем явное формирование матрицы А-1 и умножение ее на В.
1.4 Используемые инструменты MathCAD
Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами: с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.
Панель операций с матрицами и векторами в Matrix открывается щелчком по кнопке
в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции: – определение размеров матрицы;