Моделі мультиграничної сегментації зображень (стр. 3 из 6)

У загальному випадку будь-яка пара

аналогічно (1) індукує на множині відношення толерантності, а саме

Вивчені властивості правильних і впорядковано зв’язних покриттів.

Властивість 1. Для будь-якої пари елементів впорядковано зв’язного, правильного покриття існує хоча б один нетранзитивний триплет, який належить до їхнього об’єднання

, два елемента якого не належать одному елементу покриття, тобто

.

Властивість 2. Якщо для будь-якої пари елементів

довільного покриття існує нетранзитивний триплет , який лежить у їхньому об’єднанні, то це покриття правильне.

Властивість 3. Довільне розбиття скінченної множини

є впорядковано зв’язним покриттям.

Довільне бінарне відношення

, яке задане на множині , названо функціональним, якщо задана деяка функція , а на задано покриття і , де , .

Твердження 2. Функціональне відношення не зміниться, якщо з покриття, що його індукує, будуть вилучені всі неправильні елементи.

Ці результати створили передумови для вивчення питань взаємозв’язку завдання покриттів значень функцій розподілу яскравості і результатів сегментації.

На питання, коли суміжні класи і класи толерантності збігаються для функціональних відносин, відповідь дає

Твердження 3. Класи образів і прообразів заданого на довільній множині

функціонального відношення , індукованого функцією і деяким упорядковано зв’язним покриттям , є класами толерантності тоді і тільки тоді, коли – розбиття.

Інтерпретація доведеного твердження прозора – при раціональному розбитті діапазону зміни функції розподілу яскравості можна одержати "області подібності" на носії зображення у вигляді класів толерантності, які трактуються доволі просто.

Використання впорядкованого зв’язного покриття

є принциповим, тобто якщо його виключити із розгляду, то збіг класів образів і класів толерантності не гарантує, що є розбиттям.

На питання про зв’язок класів толерантності й суміжних класів відповідає

Твердження 4. Будь-який суміжний клас довільного толерантного відношення містить підмножину – клас толерантності, якому належить елемент, що породжує цей суміжний клас.

Побудова обчислювальних моделей базується на такому результаті.

Твердження 5. Якщо матриця довільного толерантного відношення має блочний вигляд, то покриття

і , які утворені відповідно суміжними і толерантними класами, є впорядковано зв’язними. При цьому – правильне покриття, а – правильне тоді і тільки тоді, коли суміжні класи або класи толерантності не перетинаються для елементів, які мають різні образи, і фактично збігаються.

Будь-яка функціональна толерантність, яка індукована відображенням

, яке можна трактувати як зображення, тобто функцією розподілу яскравості у полі зору, ставить у відповідність кожному елементу покриття бінарні відношення на множині

де

, , , .

Оскільки відображення

є відображенням у множині , довільний елемент має повний прообраз – так називані лінії рівня . Якщо розглянути при відображенні всіх елементів покриття , то по кожному фіксованому елементу покриття отримаємо об’єднання всіх ліній рівня його елементів, тобто

.

Це відношення є відношенням еквівалентності, продукуючи клас еквівалентності

правилом

. (2)

Відзначимо, що класи

є передкласами толерантності, оскільки складаються із парних толерантних елементів. Система передкласів , яка індукована еквівалентностями (правилом (2), буде в просторі функціональної толерантності базисом, тобто відповідати умовам

Твердження 6. Для довільної функціональної толерантності

, яку задали на скінченній множині , покриття із повних прообразів є базисом у просторі толерантності за умови, що вихідне покриття є впорядковано зв’язним і базисним.

Спільна обробка покриттів, отриманих різними шляхами, дозволяє отримати додаткову інформацію для побудови розбиттів, що найточніше відповідають об’єктам, які шукаються. Отримані результати являють собою основу для введення операцій між покриттями і критеріїв переходу до розбиттів, адекватних структурі сцен, що спостерігаються.

Третій розділ. Після одержання часткової сегментації зображень головним завданням стає трансформація класів еквівалентності або толерантності для забезпечення передумов тематичної інтерпретації візуальної інформації. У розділі запропоновано методи перетворень розбиттів і покриттів поля зору.

Сегментовані зображення представлені у вигляді

, де , при аналізі розбиття і під час обробки покриття. Внаслідок сегментації класи еквівалентності або толерантності розмічені, тобто існує індексуюче відображення таке, що . Розглянуто операції, що відповідають умовам