Надежность информационных систем (стр. 3 из 3)
при
Таким образом, у резервированной системы интенсивность отказа является функцией времени наработки, даже для экспоненциального закона распределения времени наработки для элементов.
При t=0,
=0; при 
6. Ненагруженное резервирование
Здесь те же условия, что и в п. 5, но время безотказной работы элементов распределено по экспоненциальному закону с параметром
. Интенсивность отказов такой системы 
, так как резервированные элементы без отказов.Необходимо найти плотность распределения суммы независимых случайных величин
(24)Для этого воспользуемся характеристической функцией
, где 
(25)Тогда
(26)Плотность вероятности момента выхода из строя m + 1 элемента
(27)Вероятность безотказной работы системы определится как
(28)Если резервирования элементов нет, т.е. m =0, то
(29)7. Недогруженное резервирование
Система состоит из n основных элементов с интенсивностью отказов λ = а и m резервных элементов с λ = b. Условия работы элементов независимы. Автомат контроля и коммутации – абсолютно надежен. Система будет исправна, если число k отказов элементов 0≤k(t)≤m. Тогда
или 
, (30)так как при k = m + 1 будет отказ, а группа 0≤k(t)≤m + 1 – полная группа событий
Если в момент t система находится в состоянии k, то интенсивность ее отказов
В момент времени t + Δ t система будет находиться в состоянии kc вероятностью
(31)– вероятность того, что система не уйдет из состояния k.
Устремив
получим общее выражение для дифференциального уравнения 
(32)При k=0
(33)k=1
(34)k=m+1
(35)Начальные условия
(36)т.е. в начальный момент времени все элементы исправны.
Уравнение (32) – уравнение А.Н. Колмогорова для однородного марковского процесса (λ = const).
Уравнению (32) можно сопоставить граф переходов из одного состояния системы в другое
На основании анализа уравнений А.Н. Колмогорова, Б.В. Васильева [1] было сформулировано мнемоническое правило составления таких уравнений по заданному графу. В левой части каждого уравнения стоит производная по времени от вероятности нахождения системы в k-м состоянии в момент времени t. Число членов в правой части равно алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов на соответствующие вероятности пребывания системы в тех узлах графа, откуда совершается непосредственный переход системы в другие (соседние) узлы. Причем, слагаемым, которым соответствуют выходящие из k-го узла стрелки графа, приписывается – знак минус, а входящем – знак плюс. Как видим уравнение (32) составлено по этому правилу.
Применяя преобразование Лапласа:
(37)систему дифференциальных уравнений сводим к алгебраической, решая которую получим
(38)Зная изображение
по Лапласу находим 
(39)Решая (39), получим
, (40)где
(41)Окончательно
, (42)где
(43)Например, m=1, a/b=1
B0(1)=1+n; B1(1)=n
(44) 
(45) 
(46)Из анализа выражения (46) следует, что распределение времени безотказной работы резервированной системы отлично от экспоненциального распределения, даже, если все ее элементы имеют такое распределение.
8. Надежность резервированной системы с автоматом контроля и коммутации
1. Влияние надежности АКК на работоспособность системы. Требования к надежности автомата.
До сих пор предполагали, что АКК абсолютно надежный.
Сделаем следующие допущения:
1) Обнаружение и замена отказавших элементов в системе происходит мгновенно.
2) Интенсивность отказов обозначим как aи в
3)
fa(t)=ne-nt 
4) Условия работы элементов независимы.
5) Отказ АКК не приводит к отказу системы до следующего отказа элемента.
Очевидно, что АКК может отказать до того как будет использован весь резерв, т.е. он тоже определяет надежность системы.
Можно показать, что
(47) 
(48) Литература
1. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем.
М. Энергоатомиздат, 1986.
2. Ушаков И.А. Вероятностные модели надежности информационно-вычислительных
систем. М. Радио и связь, 1991.
3. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. Санкт-Петербург, Политехника, 2001.
4. Афанасьев В.Г., Зеленцов В.А., Миронов А.И. Методы анализа надежности и критичности отказов сложных систем. Министерство обороны, 1992.
5. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов, М. Радио и связь, 1998.
6. Рябинин И.А., черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. М. Радио и связь, 1986.
7. Барлоу Р., Прошан А. Математическая теория надежности. Пер. с англ. Под ред Гнеденко Б.В., М. Сов. Радио, 1969.
8. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. Пер. с англ. – М., Мир, 1976.
9. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств Пер. с франц. М. Радио и связь, 1982.