Надёжность функционирования автоматизированных систем (стр. 10 из 17)

Рассмотрим событие В.

m Событие В означает отказ всех входящих в соединение элементов. Событие В имеет место, если одновременно выполняются события

, j = 1, 2,………, m. Следовательно, событие В равно произведению событий , т.е.

Из теории вероятностей известно, что в этом случае

Обозначим

- вероятность отказа системы;

- вероятность отказа j - го элемента.

Откуда

или

Т.о., вероятность отказа системы паралельно соединённых элементов равна произведению вероятностей отказов всех элементов этого соединения.

Вероятность безотказной работы системы

или

1.18 Классификация методов резервирования

Резервирование - это способ повышения надёжности системы путём введения в систему избыточных элементов.

Систему с избыточными элементами называют резервированной.

По способу включения в систему резервных элементов различают постоянное резервирование и резервирование замещением.

1.18.1 Схема постоянного резервирования

Э0 При постоянном резервировании резервные элементы соединены параллельно с основными элементами в течении всего времени работы и находятся в одинаковых условиях Э1 работы с основными элементами.

Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах элементов не происходит, отказавший элемент не отключается.

Эm Плюсы постоянного резервирования - простота, отсутствие перерывов в работе, возможных при других способах резервирования.

Недостатки постоянного резервирования - повышенный расход ресурса резервных элементов, так как резервные элементы находятся в рабочем нагруженном режиме.

При резервировании замещениием отключается основной элемент и включается резервный элемент. Эта операция может выполняться автоматически или вручную.

1.18.2 Схема резервирования замещением

В зависимости от использования резервных элементов до Э0 момента их включения в работу различают три типа режимов резервирования:

1) Режим нагруженного (горячего) резерва;

2) Режим облегченного (тёплого) резерва;

3) Режим ненагруженного (холодного) резерва;

Режим нагруженного (горячего) резерва.

В этом случае резервные элементы находяться в том же режиме, что и основной элемент. Надёжность резервного элемента совпадает с надёжностью основного элемента.

Режим облегченного (тёплого) резерва.

В этом случае резервные элементы находятся в облегченном режиме до момента их включения в работу. Надёжность резервного элемента в этом случае выше надёжности основного элемента.

Режим ненагруженного (холодного) резерва.

В этом случае резервные элементы находяться в выключенном состоянии до момента их включения в работу вместо основного элемента.

Заметим, что при способе постоянного резервирования резервные элементы находятся только в режиме нагруженного резерва. При резервировании замещением резервные элементы могут находиться в любом из трёх режимов.

Резервирование замещением требует дополнительных устройств для контроля состояния элементов, выключения отказавших элементов и включения резервных элементов.

Эта группа устройств называется переключателями.

Переключатели обладают некоторой ненадёжностью. Поэтому при оценке надёжности системы надо учитывать это факт.

Резервирование называется общим, если резервируется вся система.

1.18.3 Схема общего резервирования

Резервирование называется раздельным (поэлементным), если резервируются отдельно элементы системы.

1.18.4 Схема раздельного резервирования

1.19 Расчёт надёжности системы с постоянным резервированием

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,…..,m соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течении всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается.

Определим вероятность отказа системы.

Вероятность безотказной работы системы.

.

Будем называть элементы системы равнонадёжными, если

j = 0, 1, ……, m

Для равнонадёжных элементов имеем

.

При экспоненциальном законе надёжности отдельных элементов имеем

.

Тогда

; .

Определим среднее время безотказной работы резервированной системы

.

Введём новую переменную x вида

;

Если t = 0, то x = 0;

Если t = ¥, то x = 1;

В результате получим

Запишем формулу для определения суммы n членов геометрической прогрессии

где

- первый член суммы; - n - ый член суммы; q - знаменатель прогрессии;

( ); .

Выражение

есть сумма n членов геометрической прогрессии, где q = x; n = m + 1;

Следовательно

;

где

- среднее время безотказной работы нерезервированной системы. Введём обозначение

;

Для разных значений m имеем

m = 0; a = 1;

m = 1; a = 1,5;

m = 2; a = 1,83.

Результаты сведём в таблицу

По данным таблицы строим график зависимости a от m.

1.20 Расчёт надёжности системы с постоянным общим резервированием

Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов.