Надёжность функционирования автоматизированных систем (стр. 12 из 17)

При a = 1 имеем:

Выполнив преобразование, получим:

где .

Определим частоту отказов

резервированной системы. Имеем

;

или

Определим интенсивность отказов

резервированной системы. Имеем

1.23 Режим нагруженного резерва

Облегченное резервирование занимает промежуточное положение между нагруженным и ненагруженным резервированием .

При l1 = l0 имеем режим нагруженного резерва .

В этом случае

Определим частоту

и интенсивность отказов в режиме нагруженного резерва. Имеем:

1.24 Режим ненагруженного резерва

При

имеем режим ненагруженного резерва.

В этом случае

Найдём оригинал

. Имеем

Определим вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом. Имеем:

Определим среднее время безотказной работы системы с ненагруженным резервом.

где

- эйлеров интеграл второго рода.

Известно, что

Тогда

Для гамма - функции справедливы соотношения

Следовательно

Тогда

Получим формулу для частоты отказов

. Имеем

.

Таким образом

Определим интенсивность отказов

. Имеем

или

1.25 Основные количественные характеристики надёжности при поэлементном резервировании замещением

l1 l2 liln

Здесь n - число элементов основной (резервируемой) системы; m - кратность резервирования; li - интенсивность отказов элемента i - го типа основной системы.

Вероятность безотказной работы системы вычисляется по формуле

где

- вероятность безотказной работы элемента i - го типа резервированного по способу замещения.

Холодный резерв

Тёплый резерв

где

;

Здесь l - интенсивность отказа резервного элемента i - го типа в режиме недогрузки до момента включения его в работу:

Холодный резерв

Тёплый резерв

1.26 Анализ надёжности систем при резервировании с дробной кратностью и постоянно включенным резервом

Определим количественные характеристики надёжности при постоянно включенном резерве. Резервированная система состоит из

отдельных систем. Для её нормальной работы необходимо, чтобы исправными были не менее чем h систем. Кратность

1 l0 резервирования такой системы равна:

2 l0

3

l0 Допущения:

1) Отказы элементов удовлетворяют условиям простейшего потока слу

чайных событий;

2) Переключающие устройства идеальны.

3) Основные и все резервные системы равнонадёжны.

Эти допущения означают, что для любой отдельно взятой системы справедлив экспоненциальный закон надёжности, причём все резервные элементы находятся в рабочем состоянии с момента включения резервированной системы в работу.

Резервированная указанным способом система будет работать нормально при следующих возможных ситуациях:

- ни одна из систем не отказала

- отказала одна система

- отказали две системы

- отказали

- h систем

Принимая указанные ситуации за гипотезы, вероятность безотказной работы можно записать в виде

(1.10)

где

- гипотеза, заключающаяся в том, что резервированная система работает исправно при отказе i - любых систем; P( ) - вероятность появления гипотезы ; - h - число резервных систем.

Отказы отдельных систем являются событиями независимыми, происходящими при одинаковых условиях работы отдельных систем. В этом случае к приведённым гипотезам применима частная теорема о повторении опытов, и вероятности гипотез подчинены биномиальному распределению:

(1.11)

где P0 - вероятность безотказной работы одной системы;

- вероятность отказа одной системы.

Подставляя (1.11) в (1.10), получим

(1.12)

Так как

то (1.13)

Или

(1.14)

где

- вероятность безотказной работы резервированной системы.

При принятых допущениях

где

- интенсивность отказов любой одной из систем.

Определим среднее время безотказной работы системы.

Имеем:

Введём обозначение

.

Определим J. Имеем:

Тогда выражение для определения

примет вид: