Надёжность функционирования автоматизированных систем (стр. 5 из 17)

;

u = t;

;

du = dt; v = P(t) ;

;

т.к. P(t) при t®¥ убывает быстрее, чем растёт t.

Для экспоненциального закона надёжности имеем:

;

.

Итак, для экспоненциального закона надёжности среднее время безотказной работы есть величина, обратная интенсивности отказов.

Приближённое значение

можно определить по формуле , где

Здесь

- время безотказной работы i - го изделия; N - общее число изделий, поставленных на испытания.

Определим дисперсию времени безотказной работы. Имеем

;

.

Интеграл берём по частям

; ;

;v = P(t);

;

Для экспоненциального закона надёжности имеем:

; ;

.

Интеграл берём по частям:

u = t ;

;

du = dt;

;

;

; ;

Дисперсия

характеризует степень разброса значений T относительно .

На основании результатов испытаний можно определить приближённое значение дисперсии

;

где

.

1.11 Характеристики ремонтопригодности

Рассмотрим систему длительного (многократного) использования. В этом случае система после отказа восстанавливается и затем продолжает функционировать.

Время восстановления системы

- суммарное время обнаружения и устранения отказов.

зависит от многих факторов, имеющих случайный характер (вид отказа, тип и число отказавших элементов).

- случайная величина.

Ремонтопригодность системы характеризуется следующими вероятностными характеристиками:

1) вероятность выполнения ремонта в заданное время

;

2) вероятность невыполнения ремонта в заданное время

;

3) плотность вероятности времени восстановления

;

4) интенсивность восстановления

;

5) среднее время восстановления

;

6) дисперсия времени восстановления

.

Вероятность выполнения ремонта в заданное время - это вероятность того, что отказ изделия будет устранён в течении заданного t

.

Вероятность невыполнения ремонта в заданное время - это вероятность того, что отказ изделия не будет устранён в течении заданного времени t

.

Плотность вероятности времени восстановления

равна

.

Событие А - отказ изделия не устранён на интервале времени от 0 до t.

Событие В - отказ изделия не устранён на интервале времени от

до .

АВ - произведение событий А и В. Произведением событий А и В является событие, заключающееся в совместном появлении этих событий

P(AB) = P(A) P(B/A).

P(B/A) - условная вероятность события В при условии, что событие А произошло (имело место).

- вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале времени от 0 до t.

P(B/A) = P(AB) / P(A).

Вероятность P(AB) есть вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале

т.е. P(AB) =

- вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале времени при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до t.

Таким образом

;

- вероятность того, что отказ изделия будет устранён на интервале времени при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до t.

.

Пусть

; тогда

;

;

;

.

Таким образом:

; (*)

или:

Из (*) имеем

;

или

;

или

;

;

вероятность выполнения ремонта в заданное время.

При

получаем экспоненциальный закон ремонтопригодности

Определим среднее время восстановления :

;

;

;

Это интеграл можно вычислить по частям

u = t;

;

du = dt;

;

;

;

-дисперсия времени восстановления

В случае экспоненциального закона ремонтопригодности имеем:

; .