Надёжность функционирования автоматизированных систем (стр. 9 из 17)

Определим среднее время безотказной работы. Имеем

Введём новую переменную u вида

;

если t = 0, то u = 0.

если t = ¥ , то u = ¥.

- гамма - функция

Определим дисперсию времени безотказной работы Т.

Имеем

Введём новую переменную u вида

если t = 0, то u = 0.

;

если t = ¥ , то u = ¥.

Известно следующее соотношение для гамма - функции.

Следовательно

.

Тогда

Рассмотрим случай, когда k = 1; a =

.

В этом случае имеем

.

Т.е. в этом случае имеем экспоненциальный закон надёжности.

Пусть k = 2. В этом случае имеем закон Рэлея. Закон Вейбулла лучше описывает время безотказной работы изделия, чем экспоненциальный закон, т.к. в этом случае имеется два параметра: a и k. Пусть k = 2;

Тогда имеем ;

- закон распределения Рэлея.

;

;

;

;

1.17 Виды соединения элементов в систему

1) Последовательное соединение.

2) Паралельное соединение.

1.17.1 Последовательное соединение элементов в систему

Соединение элементов называется последовательным, если отказ, хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно соединённых элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все её элементы.

Рассчитаем надёжность системы при последовательном соединении элементов в систему. Рассчитать надёжность системы - это значит по заданным количественным характеристикам надёжности элементов определить количественные характеристики надёжности системы.

Рассмотрим события

, i = 1, 2, ……….,n.

Событие

означает безотказную работу элемента i за время t.

Считаем, что события

независимые, т.е. вероятность события P( ) не зависит от события , j¹i.

В этом случае элементы системы называются независимыми в смысле надёжности.

Рассмотрим событие А.

Событие А означает безотказную работу системы из n последовательно соединённых элементов за время t.

Событие А имеет место, если одновременно выполняются события

, i = 1, 2, ……….,n. Следовательно событие А равно произведению событий , т.е.

….

Из теории вероятностей известно, что в этом случае

…….. .

Обозначим

- вероятность безотказной работы системы за время t.

- вероятность безотказной работы i - го элемента за время t.

Откуда

……… .

Т.о., вероятность безотказной работы системы за время t равна произведению вероятностей безотказной работы за время t элементов системы.

В частном случае, когда все элементы системы одинаковы, имеем

Выразим вероятность безотказной работы элементов

через их интенсивность отказов

. Имеем

; i = 1, 2, …, n

Запишем формулы для определения вероятности безотказной работы системы

. Имеем

или

где

Здесь

- интенсивность отказов системы.

Т.о., при последовательном соединении элементов их интенсивность отказов складывается, и интенсивность отказов системы есть сумма интенсивностей отказов элементов системы.

Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t) равна

или

Интенсивность отказов

системы

Среднее время безотказной работы системы

В случае экспоненциального закона надёжности всех элементов имеем:

;

; ;

;

;

Т.о. закон распределения времени безотказной работы системы является экспоненциальным.

Определим среднее время безотказной работы системы. Имеем

;

1.17.2 Параллельное соединение элементов в систему

1 Здесь отказ всего соединения элементов наступает только тогда, когда отказывают все входящие в соединения элементы.

Рассмотрим события

, j = 1, 2, ……. m .

2 Событие

означает отказ элемента j. Считаем, что события …….. - независимые, т.е. вероятность появления события P( ) j не зависит от события , i¹j. В этом смысле элементы соединения называются независимыми в смысле надёжности.