Нахождение корней уравнения методом Ньютона (ЛИСП-реализация) (стр. 1 из 2)
Введение
1. Постановка задачи
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода
2.2 Недостатки метода
3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
4. Программная реализация решения задачи
5. Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
ВВЕДЕНИЕ
Метод Ньютона (также известный как метод касательных)— это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность.
Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas (лат.Об анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica (лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения xn, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.
Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе Analysis aequationum universalis (лат.Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений xn вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.
В1879 годуАртурКэливработе The Newton-Fourier imaginary problem (англ. Проблема комплексных чисел Ньютона-Фурье) был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов.
Целью данной курсовой работы является Лисп – реализация нахождения корней уравнения методом Ньютона.
1. Постановка задачи
Дано уравнение:
.Требуется решить это уравнение, точнее, найти один из его корней (предполагается, что корень существует). Предполагается, что F(X) непрерывна и дифференцируема на отрезке [A;B].
Входным параметром алгоритма, кроме функции F(X), является также начальное приближение - некоторое X0, от которого алгоритм начинает идти.
Пусть уже вычислено Xi, вычислим Xi+1 следующим образом. Проведём касательную к графику функции F(X) в точке X = Xi, и найдём точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Xi+1 положим равным найденной точке, и повторим весь процесс с начала.
Нетрудно получить следующее выражение:
Xi+1 = Xi - F(Xi) / F'(Xi)
Интуитивно ясно, что если функция F(X) достаточно "хорошая", а Xi находится достаточно близко от корня, то Xi+1 будет находиться ещё ближе к искомому корню.
Пример 1.
Требуется найти корень уравнения
, с точностью 
.Производная функции
равна 
.Возьмем за начальную точку
, тогда 
-9.716215; 
5.74015; 
3.401863; 
-2.277028; 
1.085197; 
0.766033; 
0.739241.Таким образом, корень уравнения
равен 0.739241.Пример 2.
Найдем корень уравнения функции методом Ньютона
cosx = x3.
Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции
f(x) = cosx − x3.
Имеем выражение для производной
.Так как
для всех x и x3 > 1 для x > 1, очевидно, что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение x0= 0.5, тогда: 1.112141; 0.90967; 0.867263; 0.865477; 0.865474033111; 0.865474033102.Таким образом, корень уравнения функции
cosx = x3 равен 0.86547403.
Пример 3.
Требуется найти корень уравнения
, с точностью 
.Производная функции
равна 
.Возьмем за начальную точку
, тогда -2.3; -2.034615; -2.000579; -2.0.Таким образом, корень уравнения
равен -2.2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
2.1 Описание метода
Пусть корень x уравнения
отделен на отрезке [a, b], причем 
и 
непрерывны и сохраняют определенные знаки при 
. Если на некотором произвольном шаге n найдено приближенное значение корня 
,то можно уточнить это значение по методу Ньютона. Положим
, (1)где
считаем малой величиной. Применяя формулу Тейлора, получим: 
.