Новый подход к построению методов межпроцедурного анализа программ (стр. 1 из 2)

(Работа поддержана грантом РФФИ №96-01-01433)

А.С.Антонов, Вл.В.Воеводин

Введение

Необходимость выполнения межпроцедурного анализа очень часто возникает на практике, в частности, при анализе параллельных свойств программ. Можно привести множество примеров задач, решаемых с использованием техники межпроцедурного анализа: определение независимости вхождений в тело подпрограммы параметров и глобальных переменных, распараллеливание циклов, содержащих вызовы подпрограмм, определение необходимых пересылок данных для вызова распределяемой подпрограммы при использовании компьютеров с распределенной памятью, поддержка корректности данных в кэш-памяти многопроцессорных систем и многие другие. Без межпроцедурного анализа придется предположить, что все фактические параметры и внешние переменные как используются, так и переопределяются в вызываемой подпрограмме, поэтому многие полезные свойства программы не будут использованы.

В данной работе рассматривается новый подход, основанный на анализе свойств графа алгоритма [1,2,3] впервые описанный в [4].

1 Обзор существующих методов межпроцедурного анализа

Одним из первых методов разрешения проблемы межпроцедурного анализа была предложена подстановка тела подпрограммы на место вызова (inline expansion [14]), но она сильно затруднена, если в графе вызовов есть контуры, что приводит к значительному увеличению размера кода и времени анализа. В известных обзорах [5,15] большое внимание уделялось методам межпроцедурного анализа без учета индексных переменных. Но такой анализ является весьма грубым и недостаточным для реальных программ, поскольку в большинстве случаев необходима информация о существовании зависимости между ссылками на отдельные элементы массивов.

Последующее развитие методов межпроцедурного анализа шло по двум направлениям: с одной стороны, уточнение методов нахождения входных и выходных данных подпрограмм, а с другой - описание найденных данных в терминах фактических параметров (обратная подстановка).

В большинстве работ, посвященных межпроцедурному анализу, входные и выходные данные аппроксимируются вырезками массивов, используемыми или изменяемыми в анализируемой подпрограмме. Следуя [9], будем называть такие области READ и WRITE областями. Все методы описания READ и WRITE областей можно разделить на два класса: неточные и точные методы. Неточные методы проще, но, в отличие от точных, описывают только некоторую аппроксимацию необходимой области. Точные же методы могут потребовать много памяти и времени для анализа программ. В некоторых случаях используются комбинированные методы, например, приближенное описание объединения точно описанных областей.

Среди неточных методов получения READ и WRITE областей можно отметить ограниченные регулярные секции (restricted regular sections [8]), описания с помощью триплетов (bounded regular sections [11]), простые секции (simple sections [6]), описание в виде минимальной выпуклой оболочки (convex hull) [9,17]. Из точных методов можно указать подход Бурке-Сайтрона [7] и построение совокупного образа (merged image) [16].

Однако знания READ и WRITE областей недостаточно для полноценного анализа, так как READ области могут содержать данные, вычисленные ранее в исследуемой подпрограмме, а, следовательно, они не будут представлять входных данных анализируемой процедуры. WRITE области могут содержать данные, которые не потребуются нигде в дальнейшем тексте программы, что также не соответствует выходным данным подпрограммы. Для более точного анализа вводятся IN и OUT области, которые представляют именно входные и выходные данные подпрограммы, то есть данные, необходимые для выполнения подпрограммы, и данные, вычисляемые в исследуемой подпрограмме и используемые где-либо далее. Метод получения IN и OUT областей из READ и WRITE областей подробно описан в [9,10].

Методы описания входных и выходных данных подпрограммы в терминах фактических параметров описаны в работах [9,16].

2Получение входных и выходных данных подпрограмм с помощью графа алгоритма

Использование графа алгоритма, введенного в [1,2,3], позволяет получить точное описание входных и выходных данных фрагмента программы.

Основная идея этого метода заключается в том, чтобы получить описание нужного множества в пространстве элементов массива средствами анализа пространства итераций программы. Если из всей области срабатывания оператора W_J [3] вычесть все области D_k из описания графа алгоритма фрагмента по входу A_i (напомним, что точки областей D_k являются конечными точками дуг графа алгоритма данного фрагмента), то полученная область W_inp будет описывать множество точек пространства итераций, в которых A_i потребляет входные для исследуемого фрагмента данные.

Теперь нужно получить описание области пространства итераций W_inp в пространстве элементов массива A. Рассмотрим задачу для входа A_i(P(J)) массива A, где P(J) - это векторная функция, определяющая индексные выражения данного входа. Будем предполагать, что для входа A_i найдена подобласть пространства итераций Wⁱ_inp, в каждой точке которой аргументом для входа A_i являются начальные данные. По определению данной области, для любой точки JÎWⁱ_inp элемент массива A_i(P(J)) нигде в данном фрагменте не вычисляется, а берется из входных данных, т.е. является элементом искомого множества.

Cконструируем вспомогательный фрагмент, содержащий вход A₀ по переменной A:

DO I₁ = l₁, u₁

...

DO I_d = l_d, u_d

... = ... A₀(I₁, I₂, ..., I_d) ...

END DO

...

END DO ,

где d - это размерность переменной A, а l_k, u_k - нижняя и верхняя границы k-го измерения массива A соответственно, k=1,d. Будем считать, что данный фрагмент достижим из каждой точки программы и всегда срабатывает последним - этого всегда можно добиться эквивалентным преобразованием фрагмента.

Возьмем любую точку J области Wⁱ_inp. Ясно, что элемент массива A_i(P(J))=A_i(p₁(J),...,p_d(J)) принадлежит искомому множеству и надо найти описание всех подобных точек P(J) в пространстве элементов массива A.

Предположим, что в каждой точке J области Wⁱ_inp происходит не использование, а определение элемента A_i(P(J)), т.е. вход A_i будет играть роль выхода. Будем считать областью срабатывания оператора, содержащего A_i, не область W_J, а область Wⁱ_inp. Область срабатывания входа A₀ определяется только границами циклов вспомогательного фрагмента, так как он безусловно достижим из каждой точки программы.

В таких предположениях решим стандартную задачу построения элементарного графа алгоритма A_i®A₀ и найдем область

, на которой определены дуги графа алгоритма.Особенность множества заключается в том, что, являясь многогранником в пространстве итераций, он одновременно является и описанием множества входных данных в пространстве элементов массива A для входа A_i.

Аналогичным образом данная задача решается для всех входов, а искомое подмножество входных элементов массива A является объединением областей, полученных при решении данной задачи для каждого отдельного входа.

Использование такого метода позволяет получить точное описание IN и OUT областей подпрограммы. Существование эффективных алгоритмов построения графа алгоритма обеспечивает возможность использования этого метода при анализе реальных программ.

3 Описание входных и выходных данных подпрограммы в терминах фактических параметров

Перейдем теперь к решению второй задачи межпроцедурного анализа - описанию входных и выходных данных подпрограммы в терминах фактических параметров. Описываемый здесь метод опирается на [9,16] и требует, чтобы входные и выходные данные подпрограммы уже были описаны в виде системы линейных неравенств.

Пусть в программе есть две подпрограммы P и Q, такие, что:

SUBROUTINE P(...)

DIMENSION A_p(lp₁:up₁,...,lp_p:up_p)

...

CALL Q(...,A_p(op₁,...,op_p),...)

...

END

SUBROUTINE Q(...,A_q,...)

DIMENSION A_q(lq₁:uq₁,...,lq_q:uq_q)

...

END

Пусть элементы массива A_q, представляющие часть входных и выходных данных подпрограммы Q, представлены в виде области W_q, описанной с помощью набора линейных равенств и неравенств. Требуется пересчитать эту область в терминах вырезки из соответствующего фактического параметра-массива A_p.

Запишем условие Г_pq того, что два элемента массивов A_p(y₁,..., y_p) и A_q(j₁,..., j_q) ссылаются на одну и ту же область памяти:

где

.

Тогда пересечение трех областей W=W_qÇГ_pqÇ{lp_i£y_i£up_i, i =1,p} неявно задает область W_p массива A_p, соответствующую области W_q массива A_q. Для получения явного описания W_p необходимо получить проекцию (p+q)-мерной области W на p-мерное подпространство, соответствующее массиву A_p. Это можно сделать с помощью исключений Фурье-Моцкина [12,13], если равенство Г_pq линейно. Определение условий его линейности рассматривается дальше.

Если равенство Г_pq нелинейно, то при некоторых условиях можно получить более простое условие. Если массивы A_p и A_q имеют одинаковое число элементов в первых (d-1) размерностях (то есть {up_i - lp_i = uq_i - lq_i, 1 £ i £ d-1}), и {op_i=lp_i, 1 £ i £ d-1}, то добавим в описание области W равенства {y_i - lp_i=j_i - lq_i, 1 £ i £ d-1} и составим частичное уравнение ранга d: