Обработка данных в автоматизированных системах (стр. 3 из 6)

Рисунок 1.5 - Активный фильтр нижних частот второго порядка

Расчет схемы существенно упрощается, если с самого начала задать некоторые дополнительные условия. Можно выбрать коэффициент усиления

. Тогда ( – 1)R7 = 0, и резистивный делитель напряжения в цепи отрицательной обратной связи можно исключить. ОУ оказывается включенным по схеме неинвертирующего повторителя. В простейшем случае он может быть даже заменен эмиттерным повторителем на составном транзисторе. При = 1 передаточная функция фильтра принимает вид:

(1.26)

Находим значение емкости конденсатора С1:

(1.27)

	(1.28)
	(1.29)

В соответствии с методикой принимаем следующие параметры фильтра для расчёта элементов схемы Саллена – Ки: А = 1, В = 1.4142, С = 1

(фильтр Баттерворта второго порядка с коэффициентом передачи А = 1).

Находим значение емкости конденсатора С2:

	(1.30)
	(1.31)

Находим сопротивление резистора R2:

	(1.32)
(Ом)	(1.33)
	(1.34)

(1.35)

Так как А = 1, то

, а .

Принимаем :

(1.36)

В случае, если коэффициент передачи фильтра А>1, то величины R₃ и R₄ выбираются из условия R₄ /R₃ = А–1. В качестве ОУ можно выбрать микросхему К140 УД9.

· Расчет нормирующего усилителя:

В качестве нормирующего усилителя выбираем операционный усилитель LM 741:

Рисунок 1.6 – Схема нормирующего усилителя

Коэффициент усиления рассчитывается по формуле:

(1.37)

Максимальное значение амплитуды входного сигнала, приемлемое для АЦП, равно

, максимальное значение амплитуды входного сигнала датчика равно , коэффициент усиления ФНЧ , коэффициент усиления ДУ . Тогда

	(1.38)
	(1.39)

Выбираем сопротивления: R9=1 кОм, R10=23 кОм.

2. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

2.1 Описание модели АЦП

Одной из важнейших задач, решаемых автоматизированными системами, является сбор и обработка данных, поступающих от первичных преобразователей (датчиков), установленных на объектах автоматизации. Эти данные рассматривают как временные ряды.

Временной ряд - это множество наблюдений, генерируемых последовательно во времени. В зависимости от того, как изменяется время: непрерывно или дискретно, различают временные ряды непрерывные и дискретные.

Современные автоматизированные системы обрабатывают данные с помощью компьютеров, поэтому все данные, которые поступают в виде аналоговых сигналов, преобразуются в цифровую форму.

При исследовании процесса аналого-цифрового преобразования будут рассматриваться следующие временные ряды:

Х(t) - исходная физическая величина (непрерывный ряд);

х(t) - выходной сигнал датчика в вольтах, соответствующий функции Х(t) (непрерывный ряд);

С(t) - выход х(t) датчика, переведенный в непрерывные отсчёты (непрерывный ряд);

С(iT) - выход х(t) датчика, переведенный в непрерывные отсчёты, выполненные в дискретные моменты времени с периодом Т (дискретный ряд);

с(i) - выход х(t) датчика, переведенный в округленные отсчёты, полученные после операции квантования (дискретный временной ряд);

е(i) - погрешность, равная С(iT) - с(i).

Фиктивный временной ряд С(t) введен здесь только для удобства. Как временной ряд С(t), так и ряд с(i) измеряются в одних единицах - отсчётах. Временной ряд С(t) есть просто результат линейного преобразования функции х(t) вида:

(2.1)

Например, если динамический диапазон изменения значений временного ряда х(t) на входе АЦП лежит в пределах от -5В до + 5В и ему соответствует интервал изменения значений временного ряда С(t) от 0 до 1023 на выходе (АЦП имеет 10 разрядов), то А = 102.3 (отсч/В) и В = 511.5 (отсч/В).

2.2 Спектральный анализ на основе преобразования Фурье

Дискретное преобразование Фурье (финитное) определяется следующим соотношением:

(2.2)

где X(k) - значение (комплексное) дискретного преобразования Фурье, определенное в частоте с номером k;

x(i) - значение (вещественное) исходного временного ряда, определенное в момент времени с номером i;

T - период дискретизации;

N - количество отсчетов (длина) временного ряда.

Дискретное преобразование Фурье связывает спектральную характеристику (комплексный спектр) X(k), определенную в дискретных значениях частоты (с номером k), с дискретными значениями временного ряда (сигнала) x(i), определенными в дискретные моменты времени (с номером i).

Точность представления спектральной характеристики определяется разрешением по частоте:

(2.3)

Обратное дискретное преобразование Фурье определяется следующим соотношением:

(2.4)

Из сравнения формул (2.2) и (2.4) следует, что они отличаются знаком показателя экспоненты, множителем перед знаком суммы, а также переменной суммирования. Это позволяет строить единые программы для прямого и обратного преобразований Фурье.

Применяя формулу Эйлера, выражение (2.2) можно привести к виду:

(2.5)

где

(2.6)

Оценивание спектральной плотности мощности (СПМ) с помощью дискретного преобразования Фурье осуществляется по формуле:

(2.7)

где X(k) - дискретное преобразование Фурье (спектральная характеристика) временного ряда

, соответствующего процессу x(t), обладающего свойством эргодичности;

T - период дискретизации процесса x(t);

N - длина временного ряда.

Черта в правой части формулы (2.7) означает операцию осреднения. Применение формулы (2.7) без операции осреднения приводит к получению "грубой" оценки СПМ. Формула (2.6) позволяет вычислить оценку СПМ посредством статистического осреднения модуля спектральной характеристики совокупности данных, поделенного на длину записи данных. Статистическое осреднение необходимо здесь потому, что ординаты спектральной характеристики являются случайными величинами, изменяющимися для каждой используемой реализации случайного временного ряда

.

Операция осреднения уменьшает статистическую изменчивость, или повышает статистическую устойчивость. В спектральном анализе случайных временных рядов на статистическую устойчивость влияют два параметра - разрешение по частоте

и длина записи .

Можно показать, что оценки ПСМ приближенно имеют распределение

с n степенями свободы, где . Более того, для достаточно больших n, например, , распределение аппроксимируется гауссовским (нормальным) распределением. В этом случае нормированное стандартное отклонение (стандартное отклонение, связанное с оцениваемой величиной, т.е. процентная ошибка, или, в статистической терминологии, "коэффициент разброса") определяется соотношением: