Обработка информации и принятие решения в системах ближней локации (стр. 3 из 6)
unifpdf (xft, a, b), raylpdf (xft, sig)];
col='bgmk';% цвета для построения графиков
figure
plot (xfv, fv, '-r', xft, ft(:, 1), col(1), xft, ft(:, 2), col(2),…
xft, ft(:, 3), col(3), xft, ft(:, 4), col(4)) % рисуем
set (get(gcf, 'CurrentAxes'),…
'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 12)
title('\bfПлотности распределения')
xlim([xlxr]), ylim([0 1.4*max(fv)])% границы рисунка по осям
xlabel('\itx')% метка оси x
ylabel('\itf\rm(\itx\rm)')% метка оси y
grid
Рис. 9 – График плотности распределения вероятности сигнала гусеничной техники и графики нормального, рэлеевского, показательного и равномерного законов плотностей распределения вероятности
Рис. 10 – График плотности распределения вероятности фонового сигнала и графики нормального, рэлеевского, показательного и равномерного законов плотностей распределения вероятности
Вывод: из рисунка 9 видно, что наиболее подходящим теоретическим распределением для первой эмпирической гистограммы является нормальное.
Реальный закон распределения амплитуд фонового сигнала также подчиняется нормальному закону.
1.5 Проверка гипотезы по критерию Колмогорова-Смирнова
Мы подобрали вид теоретического распределения и его параметры. Следующий этап – это проверка правильности подбора. Необходимо выяснить: насколько хорошо теоретическое распределение согласуется с данными. С этой целью используются критерии согласия Колмогорова-Смирнова или Пирсона., во втором – f(x) и f*(x).
Критерий согласия Колмогорова. В этом случае сравниваются теоретическая F(x) и выборочная F*(x) функции распределения. Сравниваемым параметром является максимальная по модулю разность между двумя функциями
. (16)С точки зрения выборочного метода F*(x) является случайной функцией, так как от выборки к выборке ее вид меняется, поэтому величина D является случайной. Согласно теореме Гливенко-Кантелли с ростом объема выборки эта величина сходится к нулю. Колмогоров А.Н. выяснил, как именно D сходится к нулю. Он рассмотрел случайную величину
(17)и нашел ее закон распределения. Как оказалось, при достаточно больших n он вообще не зависит от закона распределения генеральной совокупности X. Причем функция распределения случайной величины L имеет вид
. (18)Если опытные данные x действительно взяты из генеральной совокупности с функцией распределения F(x), то вычисленная по выражению (18) реализация l случайной величины L на уровне значимости q должна лежать в квантильных границах распределения Колмогорова (18). При этом, если l малое (выходит за «левый» квантиль), то нулевая гипотеза принимается: теоретическое распределение согласуется с опытными данными. В общем случае нулевая гипотеза принимается, если выполняется условие
l £ l1-q. (19)
Данный критерий называется еще критерием Колмогорова-Смирнова.
Таким образом, для применения критерия согласия Колмогорова-Смирнова, мы должны найти максимальную по модулю разность между выборочной и теоретической функциями распределения D по выражению (16), вычислить по ней l и проверить условие (19).
Практическая часть.
param=[[mxsx]; [lam 0]; [ab]; [sig 0]];% параметры распределений
qq=[];% критические уровни значимости
foridistr=1:ndistr, % критерий Колмогорова
[hkolm, pkolm, kskolm, cvkolm]=…
kstest(x, [xcdf(tdistr{idistr}, x,…
param(idistr, 1), param(idistr, 2))], 0. 1,0);
qq=[qqpkolm];% критические уровни значимости
end
[maxqq, bdistr]=max(qq);% выбрали лучшее распределение
fprintf(['Лучше всего подходит % s;\nкритический уровень '…
'значимости для него =%8.5f\n'], s{bdistr}, maxqq);
figure
cdfplot(x);% эмпирическая функция распределения
xpl=linspace(xl, xr, 500);% для графика F(x)
ypl=cdf (tdistr{bdistr}, xpl, param (bdistr, 1), param (bdistr, 2));
holdon% для рисования на этом же графике
plot(xpl, ypl, 'r');% дорисовали F(x)
hold off
set (get(gcf, 'CurrentAxes'),…
'FontName', 'Times New Roman Cyr', 'FontSize', 12)
title(['\bfПодобрано ' s{bdistr}])
xlabel ('\itx')% метка оси x
ylabel ('\itf\rm (\itx\rm)')% метка оси y
Результат:
Лучше всего подходит нормальное распределение;
критический уровень значимости для него = 0.31369
Рис. 11 – График эмпирической функции распределения для сигнала гусеничной техники
Рис. 12 – График эмпирической функции распределения для фонового сигнала
Найденный критический уровень значимости – это то значение q, при котором неравенство (19) обращается в равенство.
Вывод:По полученным результатам можно сделать вывод, что по данному критерию распределение подобранно верно.
1.6 Проверка гипотезы по критерию согласия Пирсона
По критерию Пирсона сравниваются теоретическая и эмпирическая функции плотности распределения вероятности, а точнее – частота попадания случайной величины в интервал. Интервалы могут быть любыми, равными и неравными, но удобно использовать те интервалы, на которых построена гистограмма. Эмпирические числа попадания n (из гистограммы) сравнивается с теоретическим npj, где pj – вероятность попадания случайной величины X в j-ый интервал:
, (20)ajи bj – границы j-го интервала. Карл Пирсон показал, что, если все npj³ 5, то суммарная квадратическая относительная разность между теоретическим и практическим числом попаданий в интервал равна
(21)имеет приближенно c2 распределение Пирсона с k– m степенями свободы, где m – число параметров, оцениваемых по выборке, плюс 1. Так как параметров два, то m = 3. Выражение (21) представляет собой статистику Пирсона.
Теоретическое распределение можно считать подобранным верно, если выполняется условие
. (22)Построим таблицу результатов, в которую занесем: номера интервалов (1-й столбец), границы интервалов ajи bj (2-й и 3-й столбцы), вероятность попадания в интервал pj (4-й столбец), теоретическое число попаданий и практическое число попаданий npj(6-й столбец). Границы интервалов и практическое число попаданий взяты из гистограммы, теоретическая вероятность попадания в j-й интервал подсчитывается по выражению (20).
Практическая часть.
clearTabl% очистили таблицу результатов
Tabl(:, 1)=[1:k]';% номера интервалов
Tabl(:, 2)=xm'-delta/2;% левые границы интервалов
Tabl(:, 3)=xm'+delta/2;% правые границы интервалов
Tabl(1,2)=-inf;% теоретическое начало 1-го интервала
Tabl(k, 3)=inf;% теоретический конец последнего интервала
Tabl(:, 4)=nj';% опытные числа попаданий
bor=[Tabl(:, 2); Tabl(end, 3)];% все границы интервалов
pro=cdf (tdistr{bdistr}, bor, param (bdistr, 1), param (bdistr, 2));
Tabl(:, 5)=pro (2:end) – pro (1:end-1);% вероятности попаданиz pj
Tabl(:, 6)=n*Tabl(:, 5);% теоретическоечислопопаданийnpj
disp('Сводная таблица результатов')
fprintf(' jajbj')
fprintf (' njpjnpj\n')
fprintf (' % 2.0f % 12.5f % 12.5f % 6.0f % 12.5f % 12.5f\n', Tabl')
Для сигнала гусеничной техники:
Сводная таблица результатов
j aj bj nj pj npj
1 – Inf -0.09544 2 0.00000 0.01837
2 -0.09544 -0.09464 2 0.00000 0.00408
3 -0.09464 -0.09385 0 0.00000 0.00495
4 -0.09385 -0.09306 1 0.00000 0.00599
5 -0.09306 -0.09226 1 0.00000 0.00724
6 -0.09226 -0.09147 0 0.00000 0.00873
7 -0.09147 -0.09067 0 0.00000 0.01052
8 -0.09067 -0.08988 4 0.00000 0.01266
9 -0.08988 -0.08909 0 0.00000 0.01520
10 -0.08909 -0.08829 0 0.00000 0.01824
11 -0.08829 -0.08750 2 0.00000 0.02184
12 -0.08750 -0.08671 2 0.00000 0.02612
13 -0.08671 -0.08591 0 0.00000 0.03118
14 -0.08591 -0.08512 3 0.00000 0.03718
15 -0.08512 -0.08433 1 0.00000 0.04425
Для фонового сигнала:
Сводная таблица результатов
jajbjnjpjnpj
1 – Inf0.01067 1 0.00000 0.00000
2 0.01067 0.01074 0 0.00000 0.00000
3 0.01074 0.01080 0 0.00000 0.00000
4 0.01080 0.01086 0 0.00000 0.00000
5 0.01086 0.01092 0 0.00000 0.00000
6 0.01092 0.01098 0 0.00000 0.00000
7 0.01098 0.01104 0 0.00000 0.00000
8 0.01104 0.01111 0 0.00000 0.00000
9 0.01111 0.01117 0 0.00000 0.00000
10 0.01117 0.01123 0 0.00000 0.00000
11 0.01123 0.01129 0 0.00000 0.00000
12 0.01129 0.01135 0 0.00000 0.00000
13 0.01135 0.01141 0 0.00000 0.00000
14 0.01141 0.01147 0 0.00000 0.00000
15 0.01147 0.01154 0 0.00000 0.00000
Если распределение подобрано, верно, то числа из 4-го и 6-го столбцов не должны сильно отличаться.
Вывод: Для сигнала гусеничной техники числа из 4-го и 6-го столбцов значительно отличаются, значит, распределение подобрано неверно. А для фонового сигнала эти числа практически совпадают.
Проверим выполнение условия npj³ 5 и объединим те интервалы, в которыхnpj< 5. Перестроим таблицу и добавим в нее еще один, 7-й столбец – слагаемое, вычисляемое по выражению (21).
Практическая часть.
qz=0.3;% выбрали уровень значимости
ResTabl=Tabl (1,1:6);% взяли первую строку
for k1=2:k, % берем остальные строки таблицы
if ResTabl (end, 6)<5, % предыдущее npj<5 – будем суммировать
ResTabl (end, 3)=Tabl (k1,3);% новая правая граница интервала
ResTabl (end, 4:6)=ResTabl (end, 4:6)+Tabl (k1,4:6);% суммируем
else% предыдущее npj>=5 – будем дописывать строку
ResTabl=[ResTabl; Tabl (k1,1:6)];% дописываемстроку
end
end
if ResTabl (end, 6)<5, % последнее npj<5
ResTabl (end – 1,3)=ResTabl (end, 3);% новаяправаяграница
ResTabl (end – 1,4:6)=ResTabl (end – 1,4:6)+ResTabl (end, 4:6);
ResTabl=ResTabl (1:end-1,:);% отбросили последнюю строку
end
kn=size (ResTabl, 1);% число объединенных интервалов
ResTabl(:, 1)=[1:kn]';% новые номера интервалов
ResTabl(:, 7)=(ResTabl(:, 4) – ResTabl(:, 6)).^2./ResTabl(:, 6);
disp ('Сгруппированная сводная таблица результатов')
fprintf (' jajbj')
fprintf (' njpjnpj')
fprintf([' (nj-npj)^2/npj\n'])
fprintf (' % 2.0f % 12.5f % 12.5f % 6.0f % 12.5f % 12.5f % 12.5f\n', ResTabl')
hi2=sum (ResTabl(:, 7));% сумма элементов последнего столбца