Третья итерация симплекс-метода

Базисные переменные	Свободные члены	Коэффициенты при базисных и небазисных переменных

	3	1/9	1	0	1/9	1/3	-2/9	0
	0	11/9	0	1	4/9	-3/9	5/9	0
	12	-5/9	0	0	-10/9	-2/3	-8/9	1
	-150	-20/9	0	0	-490/9	-20/3	-50/9	0

Последняя строка таблицы не содержит положительных коэффициентов при небазисных переменных. Анализируя полученное решение, видим, что оно оптимально и выглядит так:

Из полученного решения видно, что предприятию наиболее выгодно изготовление только изделия

, производство которого обеспечит ему максимальную прибыль в размере

. При этом материальные и трудовые ресурсы будут задействованы полностью, а финансовые – недоиспользованы на 12 единиц.

Решение задачи с использованием системы Mathcad

Введем сначала поясняющий текст в рабочем листе. Для этого разместим курсор (визир – красный крестик) в месте ввода текста. Затем выберем (щелчком мыши или с помощью клавиатуры) пункт Insert (Вставка) главного меню Mathcad. В появившемся падающем меню щелкнем по пункту Text Region (Текстовая область) или в месте расположения курсора нажмем клавишу с двойной кавычкой (команда для ввода текста). В обоих случаях появится шаблон, указывающий место и начало ввода текста, после чего можно приступить к этой операции. Текстовая область будет автоматически увеличиваться по мере ввода текста. По окончании этого действия выведем курсор за рамки текстовой области.

Далее введем критерий оптимизации – целевую функцию. Для этого разместим курсор (визир – красный крестик) в месте ввода математического выражения, затем, используя соответствующие клавиши, начнем ввод, в первую очередь – имени критерия оптимизации с аргументами в скобках через запятые. Затем нажмем комбинацию Shift+: (двоеточие) для ввода знака присваивания:= (двоеточие и знак ``равно''). На месте правой метки помещаем все выражение критерия оптимизации. Аналогично вводятся начальные приближения.

Для решения задачи используем блок функций Given…Maximize. Для этого необходимо:

• ввести, если требуется, комментарии, ввод которых начинается с нажатия клавиши с двойной кавычкой;

• ввести ключевое слово Given;

• ввести систему ограничений с использованием жирного знака равенства, нажав комбинацию клавиш Ctrl+=;

• ввести граничные значения;

• ввести вектор-столбец искомых параметров, используя диалоговое окно Insert Matrix (Вставить матрицу) и комбинацию Ctrl+M. В диалоговом окне число строк (Rows) – элементов вектора столбца – должно быть равно 7, а число столбцов (Columns) – 1;

• ввести знак присваивания, нажав комбинацию клавиш Shift+: (двоеточие);

• ввести функцию Maximize с искомыми параметрами, используя диалоговое окно Insert Function (Вставить функцию) и комбинацию Ctrl+E;

• ввести вектор-столбец искомых параметров и знак ``равно''.

На рис. 1 показан процесс оптимизации распределения неоднородных ресурсов с помощью Mathcad.

Решение задачи А с помощью Mathcad

Оптимальное распределение неоднородных ресурсов зафиксировано в векторе

. Из полученного решения видно, что

. Это означает, что изделия

предприятие изготавливать не должно. Ему нужно производить только второе изделие в количестве 3 единиц. Цифра в переменной

определяет изделие, планируемое для изготовления. Оптимальное распределение ресурсов обеспечит получение максимальной прибыли

, которая составит 150 единиц.

В качестве еще одного примера решим в системе Mathcad следующую задачу линейного программирования:

Приведем ее к каноническому виду:

(6)

Очевидно, что в качестве начального приблежения необходимо взять

Решение задачи приведено на рисунке 2.

Решение задачи (6) с помощью Mathcad pic2

Задача о нахождении минимума целевой функции, в системе символьной алгебры Mathcad, решается так же просто. Для этого достаточно заменить функцию maximize на minimize.

Как показывает практика Mathcad корректно решает задачи в которых функция не достгает максимума (минимума) на ограниченном множестве. В этом случае Mathcad выводит соответствующее сообщение (см. рис. 3).

Решение задачи не имеющей максимума pic3

К сожалению Mathcad некорректно решает задачи в которых оптимальное решение неединственно. В этом случае решением служит одна из точек в которых достигается максимум (минимум). Так например при решении задачи (6) симплекс-методом, то получим, что

. В обоих случаях

. Лучше всего это прослеживается при решении следующей задачи:

(7)

Очевидно, что

, а

Задавая начальные приближения в соответствии с формулой приведенной выше, Mathcad будет выдавать в качестве ответа начальные приближения.

В случае задачи (7) нам действительно безразлично в каком количестве выпускать товары 1 и 2, прибыль от этого не меняется. Но если мы откажемся от выпуска одного из товаров, мы повысим прибыль за счет снижения затрат на обслуживание одного из станков, мы можем его вообще продать, сдать в аренду, сократить рабочих, обслуживающих данный станок. Решение в таком случае должен принимать управляющий.

Оптимальное распределение неоднородных ресурсов (стр. 3 из 4)

Решение задачи с использованием системы Mathcad