Основы анализа и синтеза комбинационных логических устройств (стр. 6 из 14)
Сложность логической функции определяется числом переменных входящих в ее выражение: в заданной функции 14, в минимальной - 9.
Первый алгоритм получения МКНФ логической функции:
1. Логическую функцию представляют в СКНФ. Причем, если она задана таблицей истинности, то ее записывают “ по нулям”; если она задана алгебраически в произвольной конъюктивной форме, то для записи в СКНФ выполняют все возможные операции развертывания.
2. В полученной СКНФ выполняют все возможные операции неполного склеивания и затем поглощения. В результате получают сокращенную конъюнктивную нормальную форму, члены которой являются простыми макстермами.
3. МКНФ находят по макстермной матрице.
Пример 1.11. Логическая функция задана табл.1.10
Таблица 1.10
Таблица истинности
| x1 | x2 | x3 | f |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Найти МКНФ этой функции.
Решение:
1. Выписывают заданную функцию в СКНФ “по нулям” таблицы истинности:
2. Проводят операции склеивания и поглощения:
В данном примере поглощаются все четыре члена исходного выражения и, следовательно, СКНФ
3. Макстермная матрица задана табл.1.11
Таблица 1.11
Макстермная матрица
| Простыеимпликанты | Члены СКНФ | |||
 |  |  |  | |
| (макстермы) | 1 | 2 | 3 | 4 |
 | X | X | ||
 | X | X | ||
 | X | X | ||
4. МКНФ логической функции:
.Второй алгоритм получения МКНФ логической функции:
1. Логическая функция представляется в СДНФ заданной функцией, взятой с отрицанием.
Если функция задана таблицей истинности, то выписывают ряд произведений всех аргументов и соединяют их знаками дизъюнкции; количество произведений должно равняться числу наборов, на которых заданная функция обращается в нуль; под каждым произведением записывают набор аргументов, на которых функция равна нулю, и над аргументами, равными нулю, ставят знаки отрицания. Если функция заданна алгебраически в произвольной форме, то сначала находят ее СДНФ, а затем записывают дизъюнкцию всех произведений аргументов, которые не вошли в СДНФ.Находят МДНФ по рассмотренному выше алгоритму. От полученной МДНФ берут отрицание и, после преобразований по формулам Де Моргана, получают МКНФ.
Пример 1.12. Найти МКНФ, функции заданной табл.1.12
Таблица 1.12
Таблица истинности
| x1 | x2 | x3 | f |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Решение: 1. СДНФ, взятая с отрицанием:
2. Результаты склеивания и поглощения:
3. МДНФ, взятая с отрицанием:
4. Взяв от обеих частей последнего равенства отрицание и применив формулу Де Моргана, получают МКНФ логической функции:
.1.8 Логический базис
Любую логическую функцию можно представить в виде СДНФ или СКНФ, т.е. с помощью соответствующей комбинации простейших логических функций И, ИЛИ, НЕ. Такой набор простейших логических функций называют функционально полным или логическим базисом.
Логический базис называют минимальным, если удаление хотя бы одной из входящих в него функций превращает его в функционально неполный.
Логический базис И, ИЛИ, НЕ не является минмальным, так как с помощью закона дуальности (Де Моргана) можно исключить из логических выражений либо функцию И, либо функцию ИЛИ:
.В результате получим минимальные базисы: И, НЕ и ИЛИ, НЕ.
2 Логические элементы, образующие логический базис
2.1 Конъюнктур (элемент И)
Конъюнктур - реализует операцию “логическое умножение”. Схема имеет два или больше входов и один выход. На выходе сигнал “1” появляется тогда и только тогда, когда на все входы одновременно воздействуют входные сигналы “1” рис. 2.1.
 |
Рис.2.1 Условное изображение конъюнктура на функциональных схемах: x1 ,x2,... , xn - входы (минимальное число входов -2); y- выход.
Логика работы конъюнктура на три входа представлена табл.2.1
Таблица 2.1
Таблица состояний конъюнктура
| x1 | x2 | x3 | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Логическое уравнение работы конъюнктура:
.Знаки (×), (L) соответствуют конъюнкции и читаются как союз И.
Если на вход конъюнктура поступают сигналы в разные моменты времени и разной длительности, то сигнал на входе определяется как результат пересечения входных сигналов (рис. 2.2)
 |
Рис 2.2 Временная диаграмма работы конъюнктура
Таким образом
, где i=1,2,... ,nС точки зрения физической реализации конъюнктуры могут быть выполнены на различных “вентильных” компонентах (диодах, транзисторах и др.)
Функцию И реализуют, например, соединенные последовательно замыкающие контакты нескольких реле. Цепь в этом случае будет замкнута только тогда, когда сработают все реле.
2.2 Дизъюнктор (элемент ИЛИ)
Дизъюнктор - реализует операцию "логическое сложение". Схема имеет два или больше входов. На выходе сигнал "1" появляется тогда, когда хотя бы на один вход воздействует сигнал "1"(рис.2.3).
 |
Рис. 2.3 Условное изображение дизъюнктора на функциональных схемах: х1, х2,...хn - входы (минимальное число входов - два); у - выход.
Логика работы дизъюнктора на три входа представлена табл.2.2
Таблица 2.2
Таблица состояний дизъюнктора
| х1 | х2 | х3 | у |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Логическое уравнение работы дизъюнктора: у=х1+х2+х3 или
. Знаки (+), ( 
) соответствуют дизъюнкции и читаются как союз ИЛИ. Если на вход дизъюнктора поступают сигналы в разные моменты времени и разной длительности, то сигнал на выходе определяется как результат объединения входных сигналов (рис.2.4).  |
Рис. 2.4 Временная диаграмма работы дизъюнктора.
Таким образом,
.