Основы дискретной математики (стр. 2 из 23)

Наиболее распространёнными видами сортировки данных являются упорядочение массива записей – расположение записей сортируемого массива данных в порядке монотонного изменения значения ключевого признака. Сортировка данных позволяет сократить в десятки раз продолжительность решения задач, связанных с обработкой больших массивов записей. Такое ускорение происходит за счёт сокращения времени поиска записей с определёнными значениями ключевых признаков. Упорядочение осуществляется в процессе многократного просмотра исходного массива.

Одними из важнейших процедур обработки структурированной информации являются сортировка и поиск. Сортировкой также называют процесс перегруппировки заданной последовательности (кортежа) объектов в некотором определенном порядке. Определенный порядок (например, упорядочение в алфавитном порядке, по возрастанию или убыванию количественных характеристик, по классам, типам и т. п.) в последовательности объектов необходим для удобства работы с этими объектами. В частности, одной из целей сортировки является облегчение последующего поиска элементов в отсортированном множестве. Под поиском подразумевается процесс нахождения в заданном множестве объекта, обладающего свойствами или качествами задаваемого априори эталона (или шаблона).

Например, требуется решить задачу: даны целые числа x, a₁, a₂, …, a_n (n>0). Определить, каким по счёту идёт в последовательности a₁, a₂, …, a_n член, равный x. Если такого члена нет, то предусмотреть соответствующее сообщение.

В этом примере мы сталкиваемся с задачей поиска. «Одно из наиболее часто встречающихся в программировании действий – поиск. Он же представляет собой идеальную задачу, на которой можно испытывать различные структуры данных…» – пишет Н. Вирт [14]. Теория поиска – важный раздел теории информации.

Очевидно, что с отсортированными (упорядоченными) данными работать намного легче, чем с произвольно расположенными. Упорядоченные данные позволяют эффективно их обновлять, исключать, искать нужный элемент и т. п. Достаточно представить, например, словари, справочники, списки кадров в неотсортированном виде и сразу становится ясным, что поиск нужной информации является труднейшим делом.

1.2 Методы, используемые при поиске и сортировке

1.2.1 Основные понятия

Существуют различные алгоритмы сортировки данных. И понятно, что не существует универсального, наилучшего во всех отношениях алгоритма сортировки. Эффективность алгоритма зависит от множества факторов, среди которых можно выделить основные:

– числа сортируемых элементов;

– степени начальной отсортированности (диапазона и распределения значений сортируемых элементов);

– необходимости исключения или добавления элементов;

– доступа к сортируемым элементам (прямого или последовательного). Принципиальным для выбора метода сортировки является последний фактор [16].

Если данные могут быть расположены в оперативной памяти, то к любому элементу возможен прямой доступ. Удобной структурой данных в этом случае выступает массив сортируемых элементов. Если данные размещены на внешнем носителе в файле последовательного доступа, то к ним можно обращаться последовательно. В качестве структуры подобных данных можно взять файловый тип [9].

В этой связи выделяют сортировку двух классов объектов: массивов (внутренняя сортировка) и файлов (внешняя сортировка).

Процедура сортировки предполагает, что при наличии некоторой упорядочивающей функции F расположение элементов исходного множества меняется таким образом, что

,

где знак неравенства понимается в смысле того порядка, который установлен в сортируемом множестве.

Поиск и сортировка являются классическими задачами теории обработки данных, решают эти задачи с помощью множества различных алгоритмов. Рассмотрим наиболее популярные из них.

1.2.2 Поиск

Для определенности примем, что множество, в котором осуществляется поиск, задано как массив:

var a: array [0..N] of item;

где item – заданный структурированный тип данных, обладающий хотя бы одним полем (ключом), по которому необходимо проводить поиск.

Результатом поиска, как правило, служит элемент массива, равный эталону, или отсутствие такового.

Важно знать и про ассоциативную память. Это можно понимать как деление памяти на порции (называемые записями), и с каждой записью ассоциируется ключ. Ключ – это значение из некоторого вполне упорядоченного множества, а записи могут иметь произвольную природу и различные параметры. Доступ к данным осуществляется по значению ключа, которое обычно выбирается простым, компактным и удобным для работы.

Дерево сортировки – бинарное дерево, каждый узел которого содержит ключ и обладает следующим свойством: значения ключа во всех узлах левого поддерева меньше, а во всех узлах правого поддерева больше, чем значение ключа в узле.

Таблица расстановки.

Поиск, вставка и удаление, как известно, – основные операции при работе с данными [16]. Мы начнем с исследования того, как эти операции реализуются над самыми известными объектами – массивами и (связанными) списками.

Массивы

На рисунке 1.1 показан массив из семи элементов с числовыми значениями. Чтобы найти в нем нужное нам число, мы можем использовать линейный поиск (процедура представлена на псевдокоде, подобном языку Паскаль):

int function SequentialSearch (Array A, int Lb, int Ub, int Key);

begin

for i = Lb to Ub do

if A (i) = Key then

return i;

return –1;

end;

Максимальное число сравнений при таком поиске – 7; оно достигается в случае, когда нужное нам значение находится в элементе A[6]. Различают поиск в упорядоченном и неупорядоченном массивах. В неупорядоченном массиве, если нет никакой дополнительной информации об элементе поиска, его выполняют с помощью последовательного просмотра всего массива и называют линейным поиском. Рассмотрим программу, реализующую линейный поиск. Очевидно, что в любом случае существуют два условия окончания поиска: 1) элемент найден; 2) весь массив просмотрен, и элемент не найден. Приходимкпрограмме:

While (a[i]<>x) and (i<n) do Inc(i);

If a[i]<>x then Write (‘Заданногоэлементанет’)

Если известно, что данные отсортированы, можно применить двоичный поиск:

int function BinarySearch (Array A, int Lb, int Ub, int Key);

begin

do forever

M = (Lb + Ub)/2;

if (Key < A[M]) then

Ub = M – 1;

else if (Key > A[M]) then

Lb = M + 1;

else

return M;

if (Lb > Ub) then

return –1;

end;

Переменные Lb и Ub содержат, соответственно, верхнюю и нижнюю границы отрезка массива, где находится нужный нам элемент. Мы начинаем всегда с исследования среднего элемента отрезка. Если искомое значение меньше среднего элемента, мы переходим к поиску в верхней половине отрезка, где все элементы меньше только что проверенного. Другими словами, значением Ub становится равным (M – 1) и на следующей итерации мы работаем с половиной массива. Таким образом, в результате каждой проверки мы вдвое сужаем область поиска. Так, в нашем примере, после первой итерации область поиска – всего лишь три элемента, после второй остается всего лишь один элемент. Таким образом, если длина массива равна 6, нам достаточно трех итераций, чтобы найти нужное число.

Рисунок 1.1 – Массив

Двоичный поиск – очень мощный метод. Если, например, длина массива равна 1023, после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второй – до 255. Легко посчитать, что для поиска в массиве из 1023 элементов достаточно 10 сравнений.

Кроме поиска нам необходимо бывает вставлять и удалять элементы. К сожалению, массив плохо приспособлен для выполнения этих операций. Например, чтобы вставить число 18 в массив на рисунке 1.1, нам понадобится сдвинуть элементы A[3]… A[6] вниз – лишь после этого мы сможем записать число 18 в элемент A[3]. Аналогичная проблема возникает при удалении элементов. Для повышения эффективности операций вставки / удаления предложены связанные списки.

Иначе двоичный поиск (бинарный поиск) называют поиском делением пополам. В большинстве случаев процедура поиска применяется к упорядоченным данным (телефонный справочник, библиотечные каталоги и пр.).

Односвязные списки

На рисунке 1.2 те же числа, что и раньше, хранятся в виде связанного списка; слово «связанный» часто опускают. Предполагая, что X и P являются указателями, число 18 можно вставить в такой список следующим образом:

X->Next = P->Next;

P->Next = X;

Списки позволяют осуществить вставку и удаление очень эффективно. Поинтересуемся, однако, как найти место, куда мы будем вставлять новый элемент, т. е. каким образом присвоить нужное значение указателю P. Увы, для поиска нужной точки придется пройтись по элементам списка. Таким образом, переход к спискам позволяет уменьшить время вставки / удаления элемента за счет увеличения времени поиска.

Рисунок 1. 2 – Односвязный список

Поиск в бинарных деревьях

Мы использовали двоичный поиск для поиска данных в массиве. Этот метод чрезвычайно эффективен, поскольку каждая итерация вдвое уменьшает число элементов, среди которых нам нужно продолжать поиск. Однако операции вставки и удаления элементов не столь эффективны. Двоичные деревья позволяют сохранить эффективность всех трех операций – если работа идет со «случайными» данными. В этом случае время поиска оценивается как O (lg n). Наихудший случай – когда вставляются упорядоченные данные. В этом случае оценка время поиска – O(n).