Основы дискретной математики (стр. 21 из 23)
Значение q1 функции виде СДНФ:
. 
Рисунок 7.3 – Образец выполнения работы
Упрощение выражения не требуется, пункт 3 порядка проектирования логических схем отсутствует.
Схема имеет вид, представленный на рисунке 7.3. Схема начерчена непосредственно в Excel с помощью панели рисования с использованием таких приемов, как копирование повторяющихся элементов, группировка.
Дальнейшая работа проделана для того, чтобы получить действующую модель схемы, которая при подаче входных сигналов (сравниваемых одноразрядных двоичных чисел) будет выдавать выходные сигналы (результат сравнения).
Ячейки C14 и D14 отведены для ввода сравниваемых одноразрядных двоичных чисел. Им присвоены имена а и b соответственно.
Установлена проверка данных на корректность (ввод только 0 и 1). (рисунки 7.4 – 7.5.)
Рисунок 7.4 – Подсказка при вводе значений
Рисунок 7.5 – Сообщение об ошибке, в случае ввода некорректных данных
Для этого ячейки C14 и D14 выделены и выполнена команда Данные, Проверка. В диалоговом окне Проверка вводимых значений установить нужные параметры (рисунки 7.6, а-в).
 Рисунок 7.6 а – Настройка проверки вводимых значений |  Рисунок 7.6 б – Настройка проверки вводимых значений |
Рисунок 7.6 в-Настройка проверки вводимых значений
В ячейку K22 введена формула:
=ЕСЛИ (ИЛИ(И (НЕ(C14); НЕ(D14)); И (C14; D14))=ИСТИНА; 1; 0).
Функция ЕСЛИ используется лишь для преобразования значения «ИСТИНА» в 1, а значения «ЛОЖЬ» в 0.
В ячейку K23 введена формула:
=ЕСЛИ (K22=1; «Числа равны»; «Числа не равны»).
Для того чтобы случайно что-то не испортить на листе, лист защищен, кроме ячеек, в которые вводятся сравниваемые числа. Эти ячейки выделены, и выполнена команда Формат, Ячейка, на вкладке Защита снят флажок Защищаемая ячейка. Затем выполнена команда Сервис, Защита, Защитить лист.
На рисунке 7.3 показан вариант, когда на входы схемы аi, и bi поступают два нуля, на выходе схемы имеем q1 (числа равны). Подавая на входы другие комбинации 0 и 1, можно увидеть, что схема работает точно так, как описывает таблица истинности. Можно дополнительно ввести формулы для проверки сигналов на выходах любых элементов схемы.
Многоразрядная схема сравнения кодов
Признак равенства двухразрядных чисел q принимает значение 1, если выполняется попарно равенство всех разрядов двоичных чисел.
Для примера приведена двухразрядная схема (рисунок 7.7), что связано лишь с тем, что неудобно рассматривать работу схемы, если она выходит за пределы экрана. Двухразрядная схема состоит из двух одноразрядных схем.
Ячейки C7 и D7 отведены для поразрядного ввода первого числа, им присвоены имена a1 и а0 соответственно. Ячейки E7 и F7 отведены для ввода второго числа, им присвоены имена b1 и b0 соответственно.
В ячейку L7 введена формула для выдачи результата сравнения старших разрядов чисел:
=ИЛИ (И(НЕ(C7); НЕ(E7)); И (C7; E7)).
В ячейку L46 введена формула для выдачи результата сравнения младших разрядов чисел:
=ИЛИ (И(НЕ(F7); НЕ(D7)); И (F7; D7)).
В ячейку O22 введена формула для выдачи признака равенства чисел:
=ЕСЛИ (И(L46; L7)=ИСТИНА; 1; 0).
В ячейку O23 введена формула для выдачи сообщения о результате сравнения чисел:
=ЕСЛИ (O22=1; «Числа равны»; «Числа не равны»).
Рисунок 7.7 – Двухразрядная схема сравнения кодов
На рисунке 7.7 представлен результат сравнения чисел 10 и 11. На экране результат сравнения равен 0 и выдано сообщение «Числа не равны».
Дешифратором (избирательной схемой) называется комбинационная логическая схема, в которой определенная комбинация входных сигналов вызывает появление сигнала на одной определенной выходной шине.
Если количество двоичных разрядов дешифрируемого числа обозначить через n, то число выходов дешифратора равно К = 2n.
В компьютере с помощью дешифраторов осуществляется выборка необходимых ячеек запоминающих устройств, расшифровка кода операции с подачей управляющих сигналов на те элементы, узлы и устройства машины, которые связаны с выполнением данной операции.
Дешифратор на 2 входа
Функционирование дешифратора, имеющего 2 входа и 4 выхода, описывается таблицей истинности, представленной на рисунке 7.8.
Выражения для функций F1, F2, F3, F4 в виде СДНФ, реализуемые соответствующими выходами схемы:
, 
, 
, 
.Упрощение выражения не требуется, пункт 3 порядка проектирования логических схем отсутствует.
Схема имеет вид, представленный на рисунке 7.8.
Рисунок 7.8 – Дешифратор на 2 входа
Ячейки C13 и D13 отведены для ввода комбинации входных сигналов. Им присвоены имена а и b соответственно.
Установлена проверка данных на корректность (ввод только 0 и 1).
В ячейку J19 введена формула:
=И (НЕ(C13); НЕ(D13)).
В ячейку J26 введена формула:
=И (НЕ(C13); D13).
В ячейку J32 введена формула:
=И (НЕ(D13); C13).
В ячейку J38 введена формула:
=И (C13; D13).
В ячейки J20, J27, J33, J39 введены формулы для преобразования значения «ИСТИНА» в 1, а значения «ЛОЖЬ» в 0.
Лист защищен, за исключением ячеек, в которые вводится входной код.
На рисунке 7.8 показан вариант, когда на входы схемы а и b поступают 0 и 0 соответственно. Сигнал 1 появляется лишь на выходе F1.
Подавая на входы другие комбинации 0 и 1, можно увидеть, что схема работает точно так, как описывает таблица истинности. Можно дополнительно ввести формулы для проверки сигналов на выходах любых элементов схемы.
Для большей наглядности на рабочем листе снята сетка, для чего выполнена команда Сервис, Параметры и на вкладке Вид снят флажок Сетка.
С помощью данной схемы легко показать (безусловно, упрощенно) применение дешифратора для расшифровки кодов операций. Примите соглашение, что код 00 соответствует сложению, 01 – вычитанию, 10 – делению, 11 – умножению. Вместо обозначений выходов Fl, F2, F3 и F4 сделайте подписи «Сложение», «Вычитание», «Деление», «Умножение». Тогда при появлении определенной комбинации входных сигналов кода операции на входе дешифратора будет показано, какую операцию следует выполнять, так как 1 появится лишь на выходе, соответствующем этой операции. Безусловно, следует сказать, что, например, дешифратор на 8 входов, имеющий полный набор выходных шин, сможет расшифровать 28 = 256 различных кодов операций.
7.3 Задания к работе
1. Выполнить логическое проектирование дешифратора на четыре входа и четыре выхода по индивидуальному заданию, приведённому в таблице 7.3 [15].
2. Для одной из предложенных булевых функции системы:
Написать СКНФ по данным таблицы 7.3.
Написать СДНФ по данным таблицы 7.3.
Минимизировать булеву функцию методом Квайна.
Минимизировать булеву функцию, используя карты Карно.
3. Сравнить результаты минимизации.
4. Выполнить логическое проектирование схемы, реализующей минимальную булеву функцию, используя элементы на два входа и один выход.
5. Для системы частично определённых булевых функций (таблица 7.2): минимизировать их описание, используя карты Карно.
Выполнить логическое проектирование схемы, реализующей минимизированную систему булевых функций, используя элементы на два входа и один выход.
Таблица 7.2 – Значение частично определённых функций fi (x1; x2; x3; x4)
| Аргумент | Индекс i логической функции fi (x1; x2; x3; x4) | ||||||||||||||||||||||
| x1 | x2 | x3 | x4 | 01 | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | * | * | * | * |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | * | * | * | * | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | * | * | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | * | * |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 1 | * | * | * |
| Аргмент | Индекс i логической функции fi (x1; x2; x3; x4) | ||||||||||||||||||||||
| x1 | x2 | x3 | x4 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | * | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * |
| 1 | 0 | 1 | 1 | * | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * |
| 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * |
| 1 | 1 | 1 | 1 | * | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * |
| Аргумент | Индекс i логической функции fi (x1; x2; x3; x4) | ||||||||||||||||||||||
| x1 | x2 | x3 | x4 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | * | * | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 0 | * | * | * | * | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Таблица 7.3 | |
| Вариант | Логические функции |
| 1 | (f2; f1; f3; f4) |
| 2 | (f4; f3; f5; f6) |
| 3 | (f6; f5; f7; f8) |
| 4 | (f8; f7; f9; f10) |
| 5 | (f10; f9; f11; f12) |
| 6 | (f12; f11; f13; f14) |
| 7 | (f14; f13; f15; f16) |
| 8 | (f16; f15; f17; f18) |
| 9 | (f18; f17; f19; f20) |
| 10 | (f20; f19; f21; f22) |
| 11 | (f22; f21; f23; f24) |
| 12 | (f24; f23; f25; f26) |
| 13 | (f26; f25; f27; f28) |
| 14 | (f28; f27; f29; f30) |
| 15 | (f30; f29; f1; f2) |
| 16 | (f1; f3; f5; f7) |
| 17 | (f3; f5; f7; f9) |
| 18 | (f5; f7; f9; f11) |
| 19 | (f7; f9; f11; f13) |
| 20 | (f9; f11; f13; f15) |
| 21 | (f11; f13; f15; f17) |
| 22 | (f13; f15; f17; f19) |
| 23 | (f15; f17; f19; f21) |
| 24 | (f17; f19; f21; f23) |
| 25 | (f19; f21; f23; f25) |
| 26 | (f21; f23; f25; f27) |
| 27 | (f23; f25; f27; f29) |
| 28 | (f25; f27; f29; f1) |
| 29 | (f27; f29; f1; f3) |
| 30 | (f29; f1; f3; f5) |
7.4 Вопросы для самопроверки