Особливості виконання основних арифметичних операцій в ЕОМ (стр. 4 из 4)

Для будь-якого числа А в системі основи q=2 існує єдине представлення вигляду

де а_і=±1 або 0, в якому немоє двох сусідніх коефіцієнтів, відмінних від нуля.

Таке представлення містить мінімальне число ненульових коефіцієнтів і називається канонічним. У канонічному представленні вага будь-якого числа, починаючи з 2^і+1 й до числа 2^і+2^і-1, на одиницю більша за вагу чисел від 1 до 2^і-1. Вага чисел, починаючи з 2^і+2^і-1+1 і до 2^і+1, співпадає з вагою чисел 2^і+2^і-1-1, 2^і+2^і-1-2 і т.д.

Кількість розрядів для представлення числа AN дорівнює log₂(AN)=log₂A+log₂N, де log₂N – надлишковість кода. Таким чином, вибір модуля визначає не тільки надлишковість, але й відстань. В якості модуля доцільно вибирати деяке взаємно просте з основою системи q число, що перевищує саму основу. Можна припустити, що для двійкової системи N=3, і тоді будь-який код вигляду А·3 буде виявляти всі поодинокі помилки. Відповідно, мінімальна надлишковість при довільній основі визначається як log_q(q+1), тобто завжди потрібно буде не менше одного, але й не більше двох додаткових розрядів.

Коди з мінімальною відстанню більшою за 2, характеризуються величиною M_q(N, d). Величина M_q(N, d) – найменше число, яке при множенні його на N дає число, вага якого менша за d у представленні за основою q. Іншими словами, якщо число N мало вагу d у представленні за основою q, то добуток N·M_q(N, d) матиме вагу, меншу від d за цією самою основою q.

Якщо число А змінюється в межах 0 ≤А ≤ M_q(N, d) , то при будь-яких N і q мінімальна відстань А·N-кода буде дорівнювати щонайменш d, що випливає з певної кількості M_q(N, d).

В теорії кодування доведено, що M₂(N, 3)=(2^(N-1)/2+1)/N.

Основний спосіб для відшукання значення М_q – спосіб безпосередніх обчислень (див. Савєльєв А.Я., ст. 163).