Перетворення чисел з однієї системи числення в іншу (стр. 2 из 3)
=0 27 2 
=1 13 2 
=1 6 2 
=0 3 2 
=1 1 
= 
=109= 
= 
=1101101Зворотне перетворення виконується таким чином:
= 
Цифрові системи оперують дійсними, цілими і дробовими числами, які можуть мати дві форми уявлення: з плаваючою комою, з фіксованою комою.
При використанні плаваючої коми число складається з двох частин: мантиси m, що містить значущі цифри числа, і порядку p, що показує ступінь, в який треба звести основу числа q, щоб отримане при цьому число, помножене на мантису, давало дійсне значення числа, що представлялося:
Мантиса і порядок представляються в двійковому коді. Звичайне число дається в нормалізованому вигляді, коли його мантиса є правильним дробом, причому перша значуща цифра ( одиниця ) слідує безпосередньо після коми: наприклад,
де m=0,1010; p=10; q=2При використанні фіксованої коми число представляється у вигляді єдиного цілого, причому положення коми у використовуваній розрядній сітці жорстко фіксоване. Зазвичай числа з фіксованою комою даються у вигляді правильного дробу. Для цього всі числа множать на масштабний коефіцієнт, щоб перевести їх в правильний дріб. Цифрові системи, що використовують числа з плаваючою комою, складніше за системи, що використовують числа з фіксованою комою, оскільки при цьому потрібне виконання операцій як над мантисами, так і над порядками. Проте діапазон чисел, що представляються, при однаковому числі розрядів в системах з плаваючою комою значно більше.
Для представлення знаку числа використовується знаковий розряд z, який зазвичай розташовується перед числовими розрядами. Для позитивних чисел значення знакового розряду z=0, для негативних чисел z=1. Для чисел з плаваючою комою вводяться окремі знакові розряди для мантиси і для порядку чисел.
Оскільки 23=8, а 24=16 , то кожних три двійкових розряди зображення числа утворюють один вісімковий, а кожних чотири двійкових розряди - один шістнадцятковий. Тому для скорочення запису адрес та вмісту оперативної пам'яті комп'ютера використовують шістнадцяткову й вісімкову системи числення.
3. Інші системи числення
При налаштувані апаратних засобів (програм BIOS і т.д.) і написанні нових програм (особливо на мовах низького рівня типу асемблера або C) часто виникає необхідність заглянути в пам'ять машини, щоб оцінити її поточний стан. Але там все заповнено довгими послідовностями нулів і одиниць, дуже незручних для сприйняття. Крім того, природні можливості людського мислення не дозволяють оцінити швидко і точно величину числа, представленого, наприклад, комбінацією з 16 нулів і одиниць. Для полегшення сприйняття двійкового числа вирішили розбити його на групи розрядів, наприклад, по три або чотири розряди. Ця ідея виявилася вдалою, оскільки послідовність з 3 біт має 8 комбінацій, а послідовність з 4 бітів -16 комбінацій. Числа 8 і 16 - ступені двійки, тому легко знаходити відповідність між двійковими числами. Розвиваючи цю ідею, прийшли до виводу, що групи розрядів можна кодувати, скоротивши при цьому послідовність знаків. Для кодування трьох бітів (тріад) потрібно 8 цифр, і тому взяли цифри від 0 до 7 десяткової системи. Для кодування чотирьох бітів (тетрад) необхідно 16 знаків, і взяли 10 цифр десяткової системи і 6 букв латинського алфавіту: A,B,C,D,E,F. Отримані системи, що мають в основі 8 і 16, назвали відповідно вісімковою і шістнадцятковою.
Вісімкові і шістнадцяткові системи числення:
| Десяткове число | Вісімкове число | Тріада | Шістнадцяткове число | Тетрада |
| 0 | 0 | 000 000 | 0 | 0000 |
| 1 | 1 | 000 001 | 1 | 0001 |
| 2 | 2 | 000 010 | 2 | 0010 |
| 3 | 3 | 000 011 | 3 | 0011 |
| 4 | 4 | 000 100 | 4 | 0100 |
| 5 | 5 | 000 101 | 5 | 0101 |
| 6 | 6 | 000 110 | 6 | 0110 |
| 7 | 7 | 000 111 | 7 | 0111 |
| 8 | 10 | 001 000 | 8 | 1000 |
| 9 | 11 | 001 001 | 9 | 1001 |
| 10 | 12 | 001 010 | А | 1010 |
| 11 | 13 | 001 011 | В | 1011 |
| 12 | 14 | 001 100 | С | 1100 |
| 13 | 15 | 001 101 | D | 1101 |
| 14 | 16 | 001 110 | Е | 1110 |
| 15 | 17 | 001 111 | F | 1111 |
| 16 | 20 | 010 000 | 10 | 10000 |
У таблиці приведені числа в десятковій, вісімковій і шістнадцятковій системах і відповідні групи бітів в двійковій системі.
16-pазpядне двійкове число із знаковим розрядом можна представити 6-pозpяднимвісімковим, причому старший байт в нім прийматиме значення лише 0 або 1. У шістнадцятковій системі таке число займе 4 розряди.
Переклад чисел з однієї системи числення в іншу:
| Двійковічисла | Вісімковічисла | Десятковічисла | Шістнадцяткові числа |
| 0,0001 | 0,04 | 0,0625 | 0,1 |
| 0,001 | 0,1 | 0,125 | 0,2 |
| 0,01 | 0,2 | 0,25 | 0,4 |
| 0,1 | 0,4 | 0,5 | 0,8 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 10 | 2 | 2 | 2 |
| 11 | 3 | 3 | 3 |
| 100 | 4 | 4 | 4 |
| 101 | 5 | 5 | 5 |
| 110 | 6 | 6 | 6 |
| 111 | 7 | 7 | 7 |
| 1000 | 10 | 8 | 8 |
| 1001 | 11 | 9 | 9 |
| 1010 | 12 | 10 | A |
| 1011 | 13 | 11 | B |
| 1100 | 14 | 12 | C |
| 1101 | 15 | 13 | D |
| 1110 | 16 | 14 | E |
| 1111 | 17 | 15 | F |
| 10000 | 20 | 16 | 10 |
Арифметичні операції над числами у вісімковій або шістнадцятковій системах проводяться по тих же правилах, що і в десятковій системі. Тільки потрібно пам’ятати, що якщо має місце перенесення, то переноситься не після 10, а після 8 або 16.
4. Числа з фіксованою і плаваючою комою
При представленні числа в двійковому коді з цифрами 0,1 в кожному розряді записуются цифри 0 або 1. Оскільки в ЕОМ «запис» числа здійснюється за допомогою технічних пристроїв, то для представлення його в такій формі необхідно розташовувати пристрої з двома надійно різними станами, яким можуть бути зіставлені значення 0 або 1. Комбінація таких пристроїв, число яких відповідає кількості розрядів записуваного числа, може бути використана для представлення чисел в ЕОМ.
Як такі пристрої, можуть бути використані трігери. Набір трігерів, предна-значенних для представлення чисел в ЕОМ, а також для виконання над ними деяких логічних перетворень, називається регістром. Зрозуміло, число розрядів, відведене для запису числа, відповідне числу трігерів, в ЕОМ завжди звичайно. Вибір кількості розрядів для представлення чисел в ЕОМ є одним з найвідповідальніших етапів конструювання обчислювальної машини і обумовлюється цілим рядом потреб, серед яких одне з найважливіших - необхідна точність обчислень.
У ЕОМ застосовуються дві основні форми представлення чисел: півлогарифмічна - з плаваючою комою і природна - з фіксованим положенням коми.
При представленні чисел з фіксованою комою положення коми фіксується у визначеному місці щодо розрядів числа і зберігається незмінним для всіх чисел, що зображаються в даній розрядній сітці. Зазвичай кома фіксується перед старшим розрядом або після молодшого. У першому випадку в розрядній сітці можуть бути представленні тільки числа, які по модулю менше 1, в другому - тільки цілі числа.
Використання представлення чисел з фіксованою комою дозволяє спростити схеми машини, підвищити її швидкодію, але представляє певні труднощі при програмуванні. В даний час представлення чисел з фіксованою комою використовується як основне тільки в мікроконтролерах.
У універсальних ЕОМ основним є представлення чисел з плаваючою комою. Широкий діапазон представлення чисел з плаваючою комою зручний для наукових і інженерних розрахунків. Для підвищення точності обчислень в багатьох ЕОМ передбачена можливість використання формату подвійної довжини, проте при цьому відбувається збільшення витрат пам'яті на зберігання даних і сповільнюються обчислення. Розглянемо докладніше ці дві формати.