Перетворення чисел з однієї системи числення в іншу (стр. 3 из 3)
Числа з фіксованою комою
Формат для чисел з комою, фіксованою перед старшим розрядом. У цьому форматі можуть бути з точністю до 
представлені числа (правильні дроби) в діапазоні 
Перші ЕОМ були машинами з фіксованою комою, причому кома фіксувалася перед старшим розрядом числа. В даний час, як правило, форму з фіксованою комою застосовують для представлення цілих чисел (кома фіксована після молодшого розряду).
Використовують два варіанти представлення цілих чисел: із знаком і без знаку. У послідньому випадку всі розряди розрядної сітки служать для представлення модуля числа. У ЄС ЕОМ застосовуються обидва вказані варіанти представлення цілих чисел, причому кожен з варіантів реалізується як у форматі 32-розрядного машинного слова цих машин, так і у форматі 16-розрядного півслова.
При виконанні арифметичних дій над правильними дробами можуть получитися двійкові числа, по абсолютній величині більше або рівні одиниці, що називається переповнюванням розрядної сітки. Для виключення можливості переповнювання доводиться масштабувати величини, що беруть участь в обчисленнях.
Перевага представлення чисел у формі з фіксованою комою полягає в простоті виконання арифметичних операцій.
Недоліки - в необхідності вибору масштабних коефіцієнтів і в низькій точності уявлення з малими значеннями модуля (нулі в старших розрядах модуля приводять до зменшення кількості розрядів, займаних значущою частиною модуля числа).
Числа з плаваючою комою
При використанні плаваючої коми число складається з двох частин: мантиси m, що містить значущі цифри числа, і порядку p, що показує ступінь, в який треба звести підстава числа q, щоб отримане при цьому число, помножене на мантису, давало дійсне значення числа, що представлялося:
Мантиса і порядок представляються в двійковому коді. Звичайне число дається в нормалізованому вигляді, коли його мантиса є правильним дробом, причому перша значуща цифра (одиниця) слідує безпосередньо після коми: наприклад,
де m=0,1010; p=10; q=2Порядок вказує на дійсне положення коми в числі. Код в приведеному форматі представляє значення числа в напівлогарифмічній формі:
Точність представлення значень залежить від кількості значущих цифр мантиси. Для підвищення точності числа з плаваючою комою представляються в нормалізованій формі, при якій значення модуля мантиси лежить в межах
Ознакою нормалізованого числа служить наявність одиниці в старшому розряді модуля мантиси. У нормалізованій формі можуть бути представлені всі числа з деякого діапазону за винятком нуля.Нормалізовані двійкові числа з плаваючою комою представляють значення модуля в діапазоні:
де
- максимальне значення модуля порядку.Так, при p=7
-1= 
=63 і діапазон представлення модулів нормалізованих чисел: 
Таким чином, діапазон чисел:
Для розширення діапазону чисел, що представляються, при фіксованій довжині рорядної сітки (m+p) як основа системи числення вибирається
. При цьому число, що представляється в розрядній сітці, набуває значень 
. Нормалізована мантиса 16-ого числа з плаваючою комою має значення в діапазоні 
. Ознакою нормалізації такого числа є наявність хоч би однієї одиниці в чотирьох старших розрядах модуля мантиси. Діапазон представлення чисел в цьому випадку істотно розширюється, знаходячись при тій же кількості розрядів в межах від 
до 
.При записі чисел в кодах ASCII цифрам від 0 до 9 поставлені у відповідність восьмирозрядні двійкові коди від 00110000 до 00111001.
ЕОМ, призначені для обробки економічної інформації, наприклад IBMAT, дозволяють проводити арифметичні операції в десятковій системі числення над числами, представленими в двійково-десяткових кодах і кодах ASCII.
5. Висновки
В процесі налагодження програм та в деяких інших ситуаціях у програмуванні актуальною є проблема переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Якщо основа нової системи числення дорівнює деякому степеню старої системи числення, то алгоритм переводу дуже простий: потрібно згрупувати справа наліво розряди в кількості, що дорівнює показнику степеня і замінити цю групу розрядів відповідним символом нової системи числення. Цим алгоритмом зручно користуватися коли потрібно перевести число з двійкової системи числення у вісімкову або шістнадцяткову. Наприклад, 101102=10 110=268, 10111002=101 1100=5C8
У двійковому відбувається за зворотнім правилом: один символ старої системи числення заміняється групою розрядів нової системи числення, в кількості рівній показнику степеня нової системи числення. Наприклад, 4728=100 111 010=1001110102, B516=1011 0101=101101012
Як бачимо, якщо основа однієї системи числення дорівнює деякому степеню іншої, то перевід тривіальний. У протилежному випадкові користуються правилами переведення числа з однієї позиційної системи числення в іншу (найчастіше для переведення із двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення у десяткову, і навпаки).
6. Програмна реалізація
Програма розроблена для перетворення чисел з однієї системи числення в іншу.Реалізована в середовищі програмування BorlandC++Builder.
Лістінг програми:
#include <vcl.h>
#pragma hdrstop
#include "Unit1.h"
#include <math.h>
#include <conio.h>
#include <iostream.h>
#include <string.h>
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma resource "*.dfm"
TForm1 *Form1;
//---------------------------------------------------------------------------
__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
: TForm(Owner)
{
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
{
//зчитуваня початкового числа
sprintf(s,"%s",Edit1->Text.c_str()); // копіюємо текст в рядок S
sscanf(s,"%s",&szInitialNumber); // зчитуємо значення із рядка S
l=strlen(s);
//зчитування початкової системи числення
sprintf(s,"%s",Edit2->Text.c_str());
sscanf(s,"%i",&InitialSystem);
//зчитування потрібної системи числення
sprintf(s,"%s",Edit3->Text.c_str());
sscanf(s,"%i",&NecessarySystem);
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender)
{
for(i=0; i<l; i++)
if( szInitialNumber[i]=='.')
SplitPoint=i;
for(i=0; i<SplitPoint; i++)
szIntegralPart[i]=szInitialNumber[i];
for(i=SplitPoint+1; i<l; i++)
szFractionalPart[i]=szInitialNumber[i];
l2=l-SplitPoint-1;
l1=l-l2-1;
// перетворення цілої частини
for(i=0; i<l1; i++)
for(j=0;j<=100;j++)
if(szIntegralPart[i]==( j >= 10 ? 'A' + j - 10 : '0' + j ))
u[i]=j;
e=0;
for(i=0; i<l1-1; i++)
e=(u[i]+e)*InitialSystem;
n=e+u[l1-1];
m=0;
for(i=0; n>=m; i++)
{
m=pow(NecessarySystem, i);
ll=i-1;
}
for(k=ll; k>=0; k--)
{
t=pow(NecessarySystem, k);
x=n/t;
o[k]=x;
for(j=0; j<100; j++)
if(o[k]==j)
w[k]=( j >= 10 ? 'A' + j - 10 : '0' + j ) ;
n=n%t;
}
lll=strlen(w);
for(i=0; i<=ll; i++)
szGetIntegralPart[i]=w[ll-i];
// перетворення дробової частини
for(i=SplitPoint+1; i<l; i++)
for(j=0; j<=100; j++)
if(szFractionalPart[i]==( j >= 10 ? 'A' + j - 10 : '0' + j ))
u1[i]=j;
e1=0;
pp=InitialSystem;
r=1/pp;
for(i=l-1;i>SplitPoint;i--)
e1=(u1[i]+e1)*r;
n1=e1;
nn[0]=n1;
for(i=0; i<20; i++)
{
nn[i+1]=nn[i]*NecessarySystem;
if(nn[i+1]>=1)
{
nnn[i+1]=nn[i+1];
nn[i+1]=nn[i+1]-nnn[i+1];
}
else
{
nn[i+1]=nn[i+1];
nnn[i+1]=nn[i+1];
}
}
for(k=1; k<20; k++)
for(j=0; j<100; j++)
if(nnn[k]==j)
szGetFractionalPart[k]=( j >= 10 ? 'A' + j - 10 : '0' + j );
for(k=0; k<20; k++)
szGetFractionalPart[k]=szGetFractionalPart[k+1];
Edit4->Text=PP;
if(u[0]==0)
szGetIntegralPart[0]='0';
sprintf(s,"%s.%s", szGetIntegralPart, szGetFractionalPart);
Edit4->Text=s;
for(i=0;i<=ll;i++)
szGetIntegralPart[i]=PP[i];
for(i=0;i<=40;i++)
szGetFractionalPart[i]=PP[i];
}
//---------------------------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::N1Click(TObject *Sender)
{
Close();
}
Контрольні приклади:
Приклад 1.
Перетворити число 109 з десяткової системи числення в двійкову.
Приклад 2.
Перетворити число 1011100000001111 з двійкової системи числення в шістнадцяткову систему числення.
Список використаної літератури
1. Григоренко Я.М., Панкратова Н. Д. “Обчислювальні методи в задачах прикладної математики”. Навч.посібник.-К.:Либідь,1995.-280с.
2. “Численные методы в инженерных исследованиях” / В. Е. Краскевич, К. Х. Зеленский, В. И. Гречко.-К.: Вища шк. Головное изд-во,1986.-263 с.
3. Фейсон Т. « Объектно-ориентированное программирование на BorlandC++ 4.5». Киев, «Диалектика»,1996.
4. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы, М.: Энергоатомиздат, 1985.
5. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.
6. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.