Построение арифметико-логического устройства для выполнения операции умножения целых чисел (стр. 2 из 2)
Варианты умножения.
Все компоненты имеют одинаковую размерность, соответствующую слову, обрабатываемому в АЛУ. Регистр множителя должен иметь цепи сдвига вправо. Сумматор частичных произведений должен иметь также цепи сдвига вправо. Причём, младшие разряды соединяются со старшими разрядами регистра множителя. В результате производится анализ младшей цифры множителя после чего, если равны «1», то к текущему значению суммы частичных приведений (который первоначально равен «0») добавляется содержимое регистра множимого. Если, анализируемая цифра равна «0», то операция сложения не выполняется после этого содержимое регистра множителя сдвигается вправо на один разряд и в освободившийся старший разряд регистра множителя переносится младший разряд суммы частичных произведений, в результате сдвига её вправо по разрядной сетке. Далее продолжается с анализа разряда. В результате после окончания операции в регистре множителя: младший разряд результата, а в сумматоре – старшая часть разряда.
В данном варианте используется двойная размерность сумматора частичных произведений и двойная размерность регистра множимого. Как и в 1-м варианте регистр множителя имеет цепи сдвига вправо по разрядной сетке, а регистр множимого – влево по разрядной сетке. Сумматор частичных произведений не оснащён цепями сдвига. Аналогично производится анализ младшего разряда множителя, и если он равен «1», то производится произведение текущей суммы и содержимого регистра множимого. После этого производится сдвиг вправо содержимого регистра множителя и сдвиг влево содержимого регистра множимого. Аналогично рассматриваются варианты со старшим разрядом.
Сумматор частичных произведений имеет цепи сдвига влево и регистры множителя тоже. Действия аналогично. Если анализируемая цифра множителя равна «1», то к текущему значению суммы частичных произведений добавляются содержимое регистра множимого. Выполняется сдвиг влево по разрядной сетке и содержимого сумматора и всё до окончания анализа всех разрядов множителя. В результате произведение размещается в сумматоре частичного произведения.
Сумматор частичных произведений и регистр множимого имеет двойную длину (двойную разрядность), регистр множителя – цепи сдвига влево, регистр множимого – вправо. Производится анализ старшего числового разряда множителя, если он равен «1», то к текущему значению суммы частичных произведений добавляется содержимое регистра множимого. Содержимое регистра множителя сдвигается влево, а регистр множимого – вправо на один разряд. Процесс продолжается до анализа последнего младшего разряда множителя.
Достоинства I, II, IV – возможность более эффективно реализовывать операцию деления. Кроме того II, IV варианты, имеющие неподвижную сумму частичных произведений позволяют параллельно выполнять операцию суммирования и сдвига, что есть производительнее.
Будем рассматривать I вариант.
Алгоритм операции умножения.
Будем считать, что операнды представлены прямым кодом, т.е. старший разряд знаковый, остальные – числовые.
1. Берутся модули от сомножителей;
2. Сумма частичных произведений полагается равной нулю;
3. Анализируется младший разряд множителя, если значение «1», то к текущему значению суммы частичных произведений добавляется множимое;
4. Содержимое регистра множителя и сумматора частичных произведений сдвигается вправо на одно деление;
5. п.3 и п.4 повторяются для всех разрядов множителя.
6. Для окончательного размещения результата в двоичном виде производят сдвиг вправо на 1 разряд.
7. Знак результата полагается «0», если сомножители имеют одинаковый знак и «1» (отрицательный результат), если сомножители имеют разные знаки. Операция не производится, если один из «0», и результат равен «0».
Основа для алгоритма является: Z=X(множимое)*Y(множитель)
Y – представим как соответствующие степени
Y=±yn-2 2n-2 + yn-32n-3+ y0 20, тогда
Z=x*(yn-2 2n-2 + yn-32n-3+y0 20) =x*2n-1(yn-2 2-1 + yn-32-2+ y0 2--(n--1))=
=2n-1((..(0+x* y0)z--1 + x* y1)* 2--1 +…+x*y n-1) 2-1 =A*2n-1.
Текущему значению суммы частичных произведений добавляется множимое, если соответствующий разряд равен «1» и далее суммы частичных произведений сдвигаются вправо и т.д. Перенеся условную точку вправо через (n-1) разряд мы получим результат.
Рг1 для приёма множимого; Рг2 для приёма множителя. Входной РгА сумматора для размещения в нём очередной добавляемой компоненты к сумме частичных произведений. Входной РгБ См используется для размещения текущего значения суммы частичных произведений. Рг2' используется для формирования сдвига множителя вправо по разрядной сетке. Выходной РгСм, в котором формируются текущее значение суммы частичных произведений. Счётчик циклов используется для отображения количества обрабатываемых разрядов множителя.
На 1-м этапе выполняется размещение множимого в Рг1. Множимое может передаваться в РгА в прямом или инверсном кодах. На 2-м этапе в Рг2 размещается множитель, поступающий по ШД. Обнуляется содержимое РгВ, используемое вы качестве начального значения суммы частичных произведений. Далее анализируется младшая цифра множителя в Рг2. Если она =1, то в РгА передаётся содержимое Рг1 и на выходе См формируется текущее значение суммы частичных произведений. Одновременно передают множитель для анализа очередной цифры. Для этого его содержимое передаётся в Рг2' с сдвигом вправо на 1 по разрядной сетке. В свободный разряд Рг2' помещается младший разряд со входа См. Остальные разряды См предаются в РгСм со сдвигом вправо на 1 разряд. После этого значение РгСм размещается в РгВ. Содержимое Рг2' размещается в Рг2 и значение СчЦ уменьшается на 1 по отношению к первоначальному значению, равному количеству числовых разрядов.
Процесс продолжается для следующей цифры множителя. Когда содержимое СчЦ становится =0, процесс анализа завершается с получением в РгСм старших разрядов и в Рг2 младших разрядов произведения. После этого выполняется ещё 1 цикл с 0 значением РгА для правилного размещения результата в разрядной сетке двойного слова.
До сих пор мы полагали, что перемножаем целые неотрицательные числа. Для умножения чисел со знаками, можно отдельно умножать модули чисел, если они записаны в прямом коде, и затем формировать знак результата. Если отрицательные числа представлены в обратном или дополнительном коде, то для взятия модулей используется дополнительная операция, связанная с добавлением 1. Поэтому для умножения чисел со знаками используется практически тот же алгоритм с некоторыми модификациями.
Алгоритм умножения целых чисел с использованием прямого кода для положительных чисел и дополнительного для отрицательных.
1.Фиксируется знак сомножителей в специальных триггерах.
2.Сумма частичных произведений полагается =0.
3.Анализируется младшая цифра множителя. Если она =1, то к сумме частичных произведений добавляется множимое в том коде, в котором оно представлено. Если она =0, то добавление не производится.
4.Выполняется сдвиг вправо суммы частичных произведений на 1 разряд, причём, если значение суммы ≥0, то производится обычный сдвиг. Если текущее значение суммы частичных произведений <0, то производится модифицированный сдвиг с занесением 1 в знаковый разряд.
5.Пункты 3 и 4 повторяются для всех числовых разрядов множителя.
6.Если множитель ≥0, то текущее значение суммы частичных произведений представляет собой результат в прямом коде для положительного значения и в дополнительном коде для отрицательного значения. Если множитель <0, то к текущему значению суммы частичных произведений необходимо добавить множимое с обратным знаком.
7.Размещение результатов в формате двойного слова путём сдвига суммы частичных произведений вправо на 1 разряд.
Z = X * Y, Y > 0
Алгоритм тот же, за исключением модифицированного сдвига. При этом может возникнуть следующее: если младший разряд множителя =0, а множимое <0, то нет необходимости выполнять модифицированный сдвига (нельзя), поскольку сумма частичных произведений =0, а нуль в дополнительном коде знака не имеет. И лишь только с появлением отрицательного значения суммы частичных произведений сдвиг должен быть модифицированным.
Y < 0
Yдоп = 2n - |Y|
Весовой коэффициент: 2n-1. Поэтому, если вычислить псевдопроизведение:
Z' = X * (2n-1 - |Y|) = -X * |Y| + X * 2n-1
Z' больше истинного значения на величину множимого, поэтому на завершительном этапе перед размещением результатов в формате двойного слова перед последним сдвигом необходимо из результата вычесть множимое. Поэтому при СчЦ = 0 к текущему значению суммы частичных произведений добавляют множимое с обратным знаком.