Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций (стр. 2 из 2)

Получить функции Радемахера можно также с помощью следующего соотношения:

Первые четыре функции Радемахера представлены на рис.1.1 а, б

а) б)

Рис. 1.1. Первые четыре непрерывные функции Радемахера:

a) на интервале [0; 1); б) на интервале [-0.5; 0.5);

Пример разложения функции f(x) в базисе функций Радемахера, используя общую формулу (1.2) представлен на рис 1.2.

, (1.2)

где

Рис.1.2. Пример разложения в базисе функций Радемахера.

Дискретные функции Радемахера

Дискретные функции Радемахера являются отсчетами непрерывных функций Радемахера. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Радемахера как Rad(m,x). Для дискретных функций Радемахера удобно использовать матрицу, каждая строка которой является дискретной функцией Радемахера. Например, для третьей диады (m=3) имеем: (для удобства обозначим “+1” как “+”, а “–1” как “–” )

Функции Хаара и их представление

Множество непрерывных функций Хаара

составляет периодическую, ортонормированную и полную систему функций. Широкое распространение функции Хаара получили в вэйвлет-анализа и сжатии изображений. Рекуррентное соотношение, которое дает возможность сформировать непрерывную функцию , имеет вид:

где

и , N – общее количество функций.

Первые восемь функций Хаара представлены на рис. 1.3.

Рис.1.3. Первые восемь непрерывных функции Хаара.

Дискретные функции Хаара

По аналогии с дискретными функциями Радемахера дискретные функции Хаара являются отсчетами непрерывных функций Хаара. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Хаара как

.

Построим матрицу дискретных значений функций Хаара для

, в которой каждая строка отвечает соответствующей функции.