Прикладная теория информации (стр. 5 из 12)
Ортогональные представления сигналов. Вычисление спектральных составляющих сигнала существенно облегчается при выборе в качестве базиса системы ортогональных функций.
Систему функций
, 
(t),..., 
,..., 
,..., 
называют ортогональной на отрезке [t 
, t 
], если для всех k = 
; 
, за исключением случая k = j, удовлетворяется условие: 
Эта система функций будет ортонормированной (ортонормальной), если для всех
справедливо соотношение 
Если соотношение (1.4) не выполняется и
то систему можно нормировать, умножая функции
на 1/ 
.Определим коэффициенты
при представлении сигнала u(t) совокупностью ортонормированных функций в виде 
предполагая, что интервал [t
, t 
] лежит внутри отрезка ортогональности [t , t ].Правую и левую части уравнения (1.5) умножаем на
и интегрируем, на интервале [t , t ]: 
В силу справедливости условия (1.3) все интегралы в правой части выражения (1.6) при
будут равны 0. При k = j в соответствии с (1.4) интеграл равен 1. Следовательно, 
В теоретических исследованиях обычно используют полные системы ортогональных функций, обеспечивающие сколь угодно малую разность непрерывной функции u(t) и представляющего ее ряда при неограниченном увеличении числа его членов. Разность оценивают по критерию
При этом говорят о среднеквадратической сходимости ряда
к функции u(t).Широко известной ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций кратных аргументов:
 |
Она ортонормальна на отрезке [-π, π]. Так как соответствующее разложение исторически появилось первым и было названо рядом Фурье, то соотношение (1.5) часто именуют обобщенным рядом Фурье, а значения
- обобщенными коэффициентами Фурье. На рис.1.2 приведена система функций Хаара, ортонормированность которых на интервале 0-1 также очевидна. Известны представления сигналов по системам ортогональных базисных многочленов Котельникова, Чебышева, Лаггера, Лежандра и др., а также неортогональные разложения по функциям Лагранжа, Тейлора и др
.Обобщенная спектральная теория облегчает решение проблемы обоснованного выбора базисных функций для конкретных задач анализа процессов, происходящих при формировании и прохождении сигналов через те или иные звенья информационной системы.
§ 1.3 Временная форма представления сигнала
Временным представлением сигнала называют такое разложение сигнала u(t), при котором в качестве базисных функций используются единичные импульсные функции - дельта-функции. Математическое описание такой функции задается соотношениями
где δ(t) - дельта-функция, отличная от нуля в начале координат (при t = 0).
Для более общего случая, когда дельта-функция отличается от нуля в момент времени t=
(рис.1.3), имеем 
Такая математическая модель соответствует абстрактному импульсу бесконечно малой длительности и безграничной величины. Единственным параметром, правильно отражающим реальный сигнал, является время его действия. Однако, учитывая (1.10), с помощью дельта-функции можно выразить значение реального сигнала u(t) в конкретный момент времени ξι:
Равенство (1.11) справедливо для любого текущего момента времени t. Заменив ξι на t и приняв в качестве переменной интегрирования ξ, получим
Таким образом, функция u(t) выражена в виде совокупности примыкающих друг к другу импульсов бесконечно малой длительности. Ортогональность совокупности таких импульсов очевидна, так как они не перекрываются во времени.
Разложение (1.12) имеет большое значение в теории линейных систем, поскольку, установив реакцию системы на элементарный входной сигнал в виде дельта-функции (импульсную переходную функцию), можно легко определить реакцию системы на произвольный входной сигнал как суперпозицию реакций на бесконечную последовательность смещенных дельта-импульсов с "площадями", равными соответствующим значениям входного сигнала.
С помощью дельта-функций можно также представить периодическую последовательность идеализированных импульсов с постоянными или меняющимися уровнями. Обозначив через u
(t) функцию, равную u(k 
t) в точках t = k t и нулю в остальных точках, запишем: 
где Δt - период следования импульсов.
Поскольку умножение u(t) на дельта - функцию в момент времени t = k
t соответствует получению отсчета этой функции, uп(k t) может представлять результат равномерной дискретизации функции u(t).§ 1.4 Частотная форма представления сигнала
Рассмотрим, какие функции целесообразно выбирать в качестве базисных при анализе инвариантных во времени линейных систем. При исследовании таких систем решения всегда содержат комплексные экспоненциальные функции времени. Детерминированные сигналы, описываемые экспоненциальными функциями времени, при прохождении через инвариантные во времени линейные системы не изменяются по своему характеру, что является следствием инвариантности класса экспоненциальных функций относительно операций дифференцирования и интегрирования.
Широко используются представления детерминированных сигналов с применением базисных функций еpt как при ρ =
(преобразование Фурье), так и при p = s+jw (обобщенное преобразование Фурье, известное как преобразование Лапласа).До сих пор мы не касались физической интерпретации базисных функций. Для чисто математических преобразований она не обязательна. Однако такая интерпретация имеет безусловные преимущества, так как позволяет глубже вникнуть в физический смысл явлений, протекающих в системах при прохождении сигналов.
Использование экспоненциальных базисных функций в преобразовании Фурье комплексно-сопряженными парами (с положительным и отрицательным параметром ω) позволяет в соответствии с формулой Эйлера:
