Прикладная теория информации (стр. 7 из 12)

Суммируя указанные составляющие, получим последовательность импульсов (рис.1.8), отличающихся от прямоугольных в основном недостаточно высокой крутизной фронтов.

Отметим, что крутизна фронтов импульсов обусловлена наличием в их спектре составляющих с частотами, многократно превышающими основную частоту.

Распределение энергии в спектре. Рассмотрим, как распределяется энергия сложного периодического сигнала u(t) по его спектральным составляющим. Под временной функцией u(t) будем подразумевать электрическое напряжение на резисторе в 1 Ом. Энергия WT, выделяемая на этом резисторе за время, равное периоду колебаний Т,

Используя спектральное представление u(t) в виде ряда Фурье (1.15), получим

Определим значения интегралов в выражении (1.35):

Так как A(jkw1) и А(-jkw1) комплексно сопряжены, то

С учетом (1.28) и (1.29) выражение для WT существенно упрощается:

Из (1.38) следует, что средняя за период энергия сложного периодического сигнала равна сумме средних энергий, выделяемых на резисторе в 1 Ом каждой его гармоникой в отдельности (включая постоянную составляющую).

С течением времени выделяемая энергия безгранично растет, при этом средняя мощность остается постоянной:

Важно отметить, что она не зависит от фаз отдельных гармоник и, следовательно, будет сохранять свое значение при изменениях формы сигнала, обусловленных нарушениями фазовых соотношений гармоник спектра.

Пример 1.3 Определим, какая часть средней мощности, выделяемой на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, периодической последовательностью прямоугольных импульсов с параметрами из примера 1.2 приходится на пять первых гармоник и постоянную составляющую.

Значения амплитуд составляющих определены ранее (см. табл.11). Подставляя их в (1.39), для средней мощности Р5 сигнала, включающего указанные составляющие, получим

Так как средняя мощность последовательности прямоугольных импульсов при τ= Т / 2 равна 0,5

, то искомая часть составляет 96% от этой мощности.

Область частот, в которой сосредоточена подавляющая часть мощности периодического сигнала, называют практической шириной его спектра. Если не предъявляется жестких требований относительно крутизны фронтов импульсов (см. пример 1 2), расширение этой области нецелесообразно.

Спектры непериодических сигналов. Любой физически реализуемый сигнал ограничен во времени и обладает конечной энергией. Функции, отображающие реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и абсолютно интегрируемы, т.е.

где M - конечная величина.

Модели таких сигналов также могут быть представлены совокупностью гармонических составляющих в соответствии с выражением (1.2). Конкретный вид спектрального преобразования для непериодического сигнала получим, проследив изменения, происходящие в спектре периодической последовательности импульсов u1(t) при увеличении периода их повторения.

В соответствии с формулой (1.30), которая справедлива для любого значения периода Т, абсолютные значения амплитуд спектральных составляющих в (1.27) при увеличении периода уменьшаются. Так как частоты составляющих спектра кратны основной частоте, то при ее уменьшении линии на спектральной диаграмме сближаются.

Спектральное представление для одиночного импульса u(t) получим как следствие увеличения периода сигнала u1(t) до бесконечности.

Пару преобразований Фурье для периодической функции u1(t) запишем в форме (1.15) и (1.16):

При T

u1(t) переходит в u(t), частота ω1 уменьшается до dw, а kw1 превращается в текущую частоту ω. Заменяя суммирование интегрированием, находим

Обозначив интеграл в квадратных скобках S(jω), получим формулы для прямого и обратного интегрального преобразования Фурье:

Величину S(jω) называют комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой. Она имеет размерность [амплитуда / частота]. На каждой конкретной частоте амплитуда соответствующей составляющей равна нулю. Сравнивая (1.15) и (1.42), находим, что бесконечно малому интервалу частоты dω соответствует составляющая с бесконечно малой комплексной амплитудой dA(jw):

Сравнение выражения (1.41) для спектральной характеристики функции u(t), заданной на интервале времени

, с формулой (1.17) для огибающей комплексного спектра такой же функции, периодически продолжающейся во времени, показывает, что они различаются только множителем:

Поэтому по известной спектральной характеристике одиночного импульса легко построить линейчатый спектр их периодической последовательности. Соотношением (1.44) объясняется и тот факт, что для различных представлений спектральной характеристики имеют место формулы, весьма похожие на (1.18) - (1.24).

Как комплексная величина спектральная характеристика может быть записана в виде

где S(ω) = |S(jω) | называется спектральной плотностью амплитуд или спектром непериодического сигнала.

Так как составляющие расположены на всех частотах, то спектр непериодического сигнала является непрерывным или сплошным. Представим спектральную характеристику состоящей из действительной и мнимой частей:

где

Модуль спектральной характеристики S(ω) определяется выражением

и представляет собой четную функцию частоты.

Для фазы спектральной характеристики S(jω) соответственно получаем

Так как из (1.42) и (1.43) следует, что A(ω) - четная функция частоты, а B(ω) - нечетная, то функция φ(ω) относительно частоты нечетна.

Комплексная форма интегрального преобразования Фурье легко приводится к тригонометрической:

Второй член в связи с нечетностью подынтегрального выражения равен нулю. Окончательно имеем

Преимущество тригонометрической формы записи Фурье-преобразования заключается в возможности некоторого физического толкования с использованием идеализации, не очень далеких от реальности.

Пример 1.4 Найти спектр одиночного прямоугольного импульса, описываемого функцией времени (рис.1.9):

Выражение для спектральной характеристики амплитуд находим в соответствии с (1.41)

Искомый спектр представляет собой модуль этого выражения:

Спектр одиночного прямоугольного импульса (рис.1.10), естественно [см. (1.44)], имеет ту же форму, что и огибающая периодической последовательности таких импульсов (см. рис.1.6).

Пример 1.5 Определить спектр дельта-функции [см. соотношения (1.10) и рис.1.3].

Запишем выражение для спектральной характеристики Sd(jw) дельта-функции, сосредоточенной в точке

:

В соответствии с (1.11) имеем

откуда модуль спектральной характеристики

Следовательно, дельта-функции соответствует сплошной равномерный спектр, включающий в себя составляющие бесконечно больших частот (рис.1.11). При ξι = 0 начальные фазы всех составляющих равны нулю.

Распределение энергии в спектре. Рассмотрим непериодический сигнал u(t), физическим представлением которого будем считать электрическое напряжение на резисторе с сопротивлением в 1 Ом.

Тогда энергия, выделяемая на этом резисторе