Приложения технологии языка программирования Паскаль в прикладной механике (стр. 7 из 8)
Задача. Эпициклический механизм, расположенный в вертикальной плоскости, установлен на горизонтальной идеально гладкой плоскости и прикреплен к ней болтами K и L. Зубчатое колесо 1 радиуса r1 неподвижно. С2– центр тяжести зубчатого колеса 2 весом Р2и радиусом r2. С1 – центр тяжести станины А и колеса 1, общий вес которых равен Р1. Массой кривошипа С1С2, вращающегося с постоянной угловой скоростью w, пренебречь. В начальный момент кривошип занимал правое горизонтальное положение. Определить:
1) нормальное давление механизма на плоскость,
2) угловую скорость w вращения кривошипа, при которой механизм в условиях отсутствия болтов начнет подпрыгивать над горизонтальной плоскостью,
3) наибольшее горизонтальное усилие, действующее на болты,
движение центра тяжести С1станины механизма после среза болтов K и L.
Рис. 4. Геометрическая модель наклонной плоскости.
Решение. Материальная система состоит из двух масс: неподвижного колеса 1 со станиной и подвижного колеса 2. Изобразим внешние силы этой системы: Р1 – вес станины и неподвижного колеса 1, Р2 – вес подвижного колеса 2, Ry – суммарная нормальная реакция плоскости, Rx – суммарная тангенциальная реакция болтов K и L. Направим ось Oy по вертикали через точку С1, ось x – вдоль горизонтальной плоскости направо.
Запишем теорему о движении центра масс системы в проекциях на оси x и y:
Mxc=∑Fkx, Myc=∑Fky, Mzc=∑Fkz
В данной задаче
∑Fkx=Rx, ∑Fky=Ry-P1-P2, Rx= Mxc, (1)
Ry= Myc+P1+P2 (2)
Для определения сил Rx и Ry остается подсчитать Mxcи Myc. Вычисление Mxcи Myc ведется по формулам:
Mxc=∑mkxk, Myc=∑mkyk.
В данном случае
Mxc= m1 x1+m2 x2 и Myc= m1 y1+m2 y2, (3).
Где x1и y1 – координаты центра тяжести С1 станины механизма и неподвижного колеса 1, x2 и y2 – координаты центра тяжести С2 подвижного колеса 2.
Как видно из рис., x1=0, y1=ОС1 – постоянная, x1=C1 C2 cosw t=(r1+r2) cos w t (угол поворота кривошипа С1С2 равен φ=wt, так как по условию w постоянна), y2=ОС1+С1С2 sinw t=ОС1+(r1+r2) sinw t.
Вычислив вторые производные x1, y1, x2, y2 по времени t находим x1=0 y1=0, x2=-(r1+r2) w2 cosw t, y2=-(r1+r2) w2 sinw t.
Внеся эти значения в формулы (3), получим:
Mxc= -m2 ( r1+ r2 )w2соs wt,(4)
Myc= -m2( r1+ r2 )w2sinwt(5)
После подстановки (4) в (1) и (5) в (2) находим:
Rx = -P2 /g *( r1+ r2 )w2соs wt(6)
Ry= P1+ P2 - P2/g *( r1+ r2 )w2sin wt (7)
Давление механизма на горизонтальную плоскость направлено противоположно реакции Ry и по модулю равно ей:
Ny=P1+ P2 -P2 /g *( r1+r2 ) w2 sin wt
Наибольшее давление:
Nymax= P1 + P2+ P2/g * (r1+ r2 ) w2
Наименьшее давление:
Nymin= Р1 + P2 - P2 /g * ( r1 +r2 ) w2
В условиях отсутствия болтов механизм может начать подпрыгивать над горизонтальной плоскостью. Это будет иметь место при Rymin<0, т.е при Р1 +P2-P2/g* (r1 + r2) w2<0, откуда следует, что угловая скорость w вращения кривошипа C1C2, при которой происходит подпрыгивание механизма, должна удовлетворять неравенству
w > √g*(P1+P2) / P2(r1+r2).
Горизонтальное давление, действующее на болты, направлено противоположно Rх(см. формулу (6)), причем
Nx=P2/g*(r1 + r2)w2 coswt.
Наибольшее давление равно
Nxmax=P2/g*(r1 + r2)w2
Допустим, что под действием, силы Nxпроизошел срез болтов.
Тогда весь механизм начнет двигаться по идеально гладкой горизонтальной плоскости.
На рис. б изображен механизм в положении, когда точка С1сместилась с оси у направо на х1. Так как станина механизма находится в движении относительно оси х, то х1является функцией времени t.
Из чертежа видно, что в данном случае
х2=х1 + С1С2coswt= х1 + (r1 + r2) coswt.
Следовательно,
Mxc =т1х1 +т2 x2 = (m1 +m2)x1 – m2(r1 + r2) w2coswt(8)
Теорема о движении центра масс системы материальных точек в проекции на ось х имеет вид
Мхс= ∑Fekx
Так как после среза болтов реакция Rxотсутствует, а внешние силы Р1 Р2и Rуперпендикулярны к оси х, то ∑Fkx= 0 иМхс= 0. Подставив в это уравнение значение Mxсиз формулы (8), получим
(т1 +m2) х1 -m2 (r1 + r2) w2coswt = 0,
т. е.
x1 = Р2/(Р1+Р2 )*(r1 + r2) w2 cos wt, (9)
Это - дифференциальное уравнение движения центра тяжести С1станины механизма по идеально гладкой горизонтальной плоскости при отсутствии болтов. Для интегрирования уравнения (9) должны быть известны начальные условия движения точки С1. Так как в момент среза болтов точка C1 находилась на оси у и была в покое, то начальные условия движения записываются в виде:
при t= 0 x1 =0 и y1= 0.
Проинтегрировав дифференциальное уравнение (9), получим:
x1= Р2/Р1+Р2 *(r1 + r2) w sin wt + D1
После подстановки начального условия движения t = 0 и x1 = 0 имеет D1 = 0, т. е
x1= Р2/Р1+Р2 *(r1 + r2) w sin wt
Вторично проинтегрировав, находим х1 = - Р2/Р1+Р2 *(г1 + r2) coswt +D2. Использовав то, что при t=0, х1=0, имеем:
D2 = Р2/Р1+Р2 *(r1 + r2)
т.е. x1 = Р2 / Р1+Р2 *(r1 + r2 )(1-coswt).
Итак, центр тяжести С1 станины механизма в случае отсутствия болтов совершает гармонические колебания с амплитудойР2/Р1+Р2 *(r1 + r2) и круговой частотой, равной угловой скорости w вращения кривошипа С1С2.
Эту задачу можно решить также с помощью уравнения динамики переносного движения. Как известно, переносное поступательное движение системы происходит как движение абсолютное под действием всех внешних сил системы и сил инерции масс в их относительном движении, т.е.
Mwe=∑Fk+∑Jrk,
где Fk— внешние силы, aJrk — силы инерции в относительном движении.
В проекциях на оси декартовых координат имеем:
Мхе=∑ Fkxe+ ∑JrkxМуе= ∑Fkye+ ∑Jrky,
k=1
Мzе= ∑Fkze+ ∑Jrkz
k=1
В данной задаче колесо 2, участвуя в переносном поступательном движении вместе с колесом 1 и станиной, совершает относительное вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр тяжести С1 колеса 1и станины перпендикулярно к плоскости ху.
Изобразив все внешние силы системы Р1, Р2,Rxи Ry (см. рис. в), добавляем центробежную силу инерции в относительном движении
Jrn = -Р2 /g*wrn. Так как точка С2 в относительном движении описывает окружность с центром С1радиуса С1С2 = r1+ r2, то, центростремительное ускорение wrn, направлено от С2 к С1 и, следовательно, центробежная сила инерции в относительном движении Jrnнаправлена противоположно. По модулю
Jrn = -Р2 /g*wrn= Р2 /g*(r1+ r2)w2
Вращательная сила инерции в относительном движении Jrτ = -Р2/g*wrτравна нулю, так как кривошип вращается равномерно.Применив дифференциальные уравнения переносного поступательного движения материальной системы в проекциях на оси х и у: