X — произвольная переменная.
Действительные имена, символы функций и предикатов являются элементами языка первого порядка.
Использование квантора существования позволяет преобразовать термы с квантором общности в соответствии с определением
(EX)U определено как -(любой X)-U.
Выражение (EХ)(ФИЛОСОФ(Х)) читается как "Кое-кто является философом", а выражение (любой Х)(ФИЛОСОФ(Х)) читается как "Любой является философом". Выражение ФИЛОСОФ(Х) представляет собой правильно построенную формулу, но это не предложение, поскольку область интерпретации для переменной X не определена каким-либо квантором. Формулы, в которых все упомянутые переменные имеют определенные области интерпретации, называются замкнутыми формулами.
Как и в исчислении высказываний, в исчислении предикатов существует нормальная форма представления выражений, но для построения такой нормальной формы используется расширенный набор правил синтаксических преобразований. Ниже приведена последовательность применения таких правил. Для приведения любого выражения к нормальной форме следует выполнить следующие операции.
(1) Исключить операторы эквивалентности, а затем импликации.
(2) Используя правила Де Моргана и правила замещения (E X)U на -(любой X)-U (а следовательно, и (любой X) U на -(E X)-U), выполнить приведение отрицания.
(3) Выполнить приведение переменных. При этом следует учитывать особенности определения области интерпретации переменных кванторами. Например, в выражении (E Х)(ФИЛОСОФ(Х))&(E Х)(АТЛЕТ(Х)) переменные могут иметь разные интерпретации в одной и той же области. Поэтому вынесение квантора за скобки — (E Х)(ФИЛОСОФ(Х))&.(АТЛЕТ(Х))— даст выражение, которое не следует из исходной формулы.
(4) Исключить кванторы существования. Кванторы существования, которые появляются вне области интерпретации любого квантора общности, можно заменить произвольным именем (его называют константой Сколема), в то время как экзистенциальные переменные, которые могут существовать внутри области интерпретации одного или более кванторов общности, могут быть заменены функциями Сколема. Функция Сколема— это функция с произвольным именем, которая имеет следующий смысл: "значение данной переменной есть некоторая функция от значений, присвоенных универсальным переменным, в области интерпретации которых она лежит".
(5) Преобразование в префиксную форму. На этом шаге все оставшиеся кванторы (останутся только кванторы общности) переносятся "в голову" выражения и таким образом оказываются слева в списке квантифицированных переменных. За ними следует матрица, в которой отсутствуют кванторы.
(6) Разнести операторы дизъюнкции и конъюнкции.
(7) Отбросить кванторы общности. Теперь все свободные переменные являются неявно универсально квантифицированными переменными. Экзистенциальные переменные станут либо константами, либо функциями универсальных переменных.
(8) Как и ранее, отбросить операторы конъюнкций, оставив множество фраз.
(9) Снова переименовать переменные, чтобы одни и те же имена не встречались в разных фразах.
Исчисление предикатов в упрощенном виде. Там выражение вида
at(робот, комнатаА)
означает, что робот находится в комнате А. Термы робот и комнатаА в этом выражении представляли собой константы, которые описывали определенные реальные объекты. Но что будет означать выражение вида
at(X, комнатаА) ,
в котором х является переменной? Означает ли оно, что нечто находится в комнате А? Если это так, то говорят, что переменная имеет экзистенциальную подстановку (импорт). А может быть, выражение означает, что все объекты находятся в комнате А? В таком случае переменная имеет универсальную подстановку. Таким образом, отсутствие набора четких правил не позволяет однозначно интерпретировать приведенную формулу.
Перечисленные в этом разделе правила исчисления предикатов обеспечивают однозначную интерпретацию выражений, содержащих переменные.
В частности, фраза
at(X, комнатаА )<—at (X, ящик1) интерпретируется как
"для всех X X находится в комнате А, если X находится в ящике 1". В этой фразе переменная имеет универсальную подстановку. Аналогично, фраза
at(X, комнатаА) <-интерпретируется как "для всех X X находится в комнате А". А вот фраза
<— at(X, комнатаА) интерпретируется как "для всех XX не находится в комнате А".
Иными словами, это не тот случай, когда некоторый объект X находится в комнате А и, следовательно, переменная имеет экзистенциальную подстановку.
Теперь можно преобразовать фразовую форму, в которой позитивные литералы сгруппированы слева от знака стрелки, а негативные — справа. Если фраза в форме
P1, ..., Рт <— q1,...qn содержит переменные х1,..., хk, то правильная интерпретация имеет следующий вид:
для всех x1, ..., хk
p1 или ... или pm является истинным, если q1 и ... и qn являются истинными.
Если п = 0, т.е. отсутствует хотя бы одно условие, то выражение будет интерпретироваться следующим образом:
для всех x1, ..., xk
p1 или ... или рт является истинным.
Если т = 0, т.е. отсутствуют термы заключения, то выражение будет интерпретироваться следующим образом:
для всех x1, ..., xk
не имеет значения, что q1 и ... и qn являются истинными.
Если же т = п = 0, то мы имеем дело с пустой фразой, которая всегда интерпретируется как ложная.
3.2 Программирование на ПРОЛОГЕ.
При программировании на Прологе усилия программиста должны быть направлены на описание логической модели фрагмента предметной области решаемой задачи в терминах объектов предметной области, их свойств и отношений между собой, а не деталей программной реализации. Фактически Пролог представляет собой не столько язык для программирования, сколько язык для описания данных и логики их обработки. Программа на Прологе не является таковой в классическом понимании, поскольку не содержит явных управляющих конструкций типа условных операторов, операторов цикла и т. д. Она представляет собой модель фрагмента предметной области, о котором идет речь в задаче. И решение задачи записывается не в терминах компьютера, а в терминах предметной области решаемой задачи, в духе модного сейчас объектноориентированного программирования.
Пролог очень хорошо подходит для описания взаимоотношений между объектами. Поэтому Пролог называют реляционным языком. Причем "реляционность" Пролога значительно более мощная и развитая, чем "реляционность" языков, используемых для обработки баз данных. Часто Пролог используется для создания систем управления базами данных, где применяются очень сложные запросы, которые довольно легко записать на Прологе.
В Прологе очень компактно, по сравнению с императивными языками, описываются многие алгоритмы. По статистике, строка исходного текста программы на языке Пролог соответствует четырнадцати строкам исходного текста программы на императивном языке, решающем ту же задачу. Пролог-программу, как правило, очень легко писать, понимать и отлаживать. Это приводит к тому, что время разработки приложения на языке Пролог во многих случаях на порядок быстрее, чем на императивных языках. В Прологе легко описывать и обрабатывать сложные структуры данных.
Прологу присущ ряд механизмов, которыми не обладают традиционные языки программирования: сопоставление с образцом, вывод с поиском и возвратом. Еще одно существенное отличие заключается в том, что для хранения данных в Прологе используются списки, а не массивы. В языке отсутствуют операторы присваивания и безусловного перехода, указатели. Естественным и зачастую единственным методом программирования является рекурсия. Поэтому часто оказывается, что люди, имеющие опыт работы на процедурных языках, медленней осваивают декларативные языки, чем те, кто никогда ранее программированием не занимался, так как Пролог требует иного стиля мышления, отказа от стереотипов императивного программирования.
Фразы Хорна (Horn clause) представляют собой подмножество фраз, содержащих только один позитивный литерал. В общем виде фраза Хорна представляется выражением
В языке PROLOG эта же фраза записывается в таком виде:
р :- q1,...,qn. Такая фраза интерпретируется следующим образом:
"Для всех значений переменных в фразе p истинно, если истинны q1 и ... и qn",
т.е. пара символов ":-" читается как "если", а запятые читаются как "и".
PROLOG — это не совсем обычный язык программирования, в котором программа состоит в основном из логических формул, а процесс выполнения программы представляет собой доказательство теоремы определенного вида.
Фраза в форме
р :- q1, ...,qn.
может рассматриваться в качестве процедуры. Такая процедура предполагает следующий порядок выполнения операций.
(1) Литерал цели сопоставляется с литералом р (унифицируется с р), который называется головой фразы.
(2)Хвост фразы ql, ...,qn конкретизируется подстановкой значений переменных (или унификаторов), сформированных в результате этого сопоставления.
(3) Конкретизированные термы хвостовой части образуют затем множество подцелей, которые могут быть использованы другими процедурами.
Таким образом, сопоставление (или унификация) играет ту же роль, что и передача параметров функции в других, более привычных языках программирования.
Например, рассмотрим набор фраз языка PROLOG, представленных в листинге 1. Предположим, что a, b и с — какие-то блоки в мире блоков. Две первые фразы утверждают, что а находится на (on) b, a b находится на (on) с. Третья фраза утверждает, что X находится выше (above) Y, если X находится на (on) Y. Четвертая фраза утверждает, что X находится выше (above) Y, если существует какой-то другой блок Z, размещенный на (on) Y, и X находится выше (above) Y.
Листинг 1. Простая программа на языке PROLOG, определяющая отношение
on (на)
on(а, b).
on(b, с).
above(X, Y) :- on(X, Y).
above(X, Y) :- on(Z, Y),
above(X, Z).