Принцип резолюции в исчислении высказываний и логике предикатов и его модификации (стр. 4 из 5)

Очевидно, что от программы требуется вывести цель above (а, с) из этого множества фраз. Процесс формулировки выражения цели включает обработку двух процедур above и использование двух фраз on. В языке PROLOG используется "интерпретация фраз Хорна для решения проблем" Фундаментальный метод доказательства теорем, на котором базируется PROLOG, называется опровержением резолюций (resolution refutation).

3.3 Принцип резолюций

Мы стараемся упростить синтаксис исчисления таким образом, чтобы уменьшить количество правил влияния, необходимое для доказательства теорем. Вместо дюжины или более правил, которые используются при доказательстве теорем вручную, системы автоматического доказательства для фразовых форм используют единственное правило вывода — принцип резолюций, — впервые описанное Робинсоном ([Robinson, 1965]).

Рассмотрим следующий пример из исчисления высказываний. В дальнейшем прописными буквами Р, Q, R,... будут обозначаться отдельные фразы, а строчными греческими U, ф и £ — пропозициональные переменные, как и раньше.

Если U и ф представляют две произвольные фразы, которые можно представить в конъюнктивной нормальной форме, и

U={ U1, ..., Ui, ...., Um},

и

ф= {ф1..., фi.....,фn}, и

Ui, = ¬фi при 1[i[mm,1 [j [ n,

то новую фразу £ можно вывести из объединения U' и ф', где

U' = U¬{ Ui} и ф' = ф¬{ф,}.

Фраза £ = U' и ф' называется резольвентой шага резолюции, а U и ф являются родительскими фразами. Иногда говорят, что U и ф "сталкиваются" на паре дополняющих литералов Ui , и фj.

Мощность резолюции обеспечивается тем, что в ней суммируется множество других правил. Это станет очевидно после того, как обычные правила будут представлены в конъюнктивной нормальной форме.

В левой колонке табл. 1 перечислены наименования правил вывода, в средней показано, как они выглядят в обычных обозначениях, а в правой колонке — во фразовой форме. В каждой записи выражения в верхней части представляют схему предпосылок, а выражения в нижней части — схему заключений. Из этой таблицы видно, что каждое из цитированных выше пяти правил является одним из экземпляров резолюции:

Таблица 1. Обобщение резолюции.

Правило вывода	Обычная форма	Конъюнктивная нормальная форма
Modus ponens	(U ф,U)/Ф	{¬U,Ф},{U}/{ф}
Modus fallens	(U ф.¬ф)/-U	{¬U,ф},{-,ф}/{-U}
Сцепление	(U ф,ф £)(U £)	{¬U,ф},{¬ф,£}/{¬U,£}
Слияние	(U ф,¬U ф)/ф	{U,ф},{¬U,ф}/{ф}
Reductio	(U,¬U)/ |	{¬U},{U}/{}

Противоречие в правиле, которое обычно обозначается значком 1, дает в результате пустую фразу— {}. Это означает, что предпосылки несовместимы. Если считать, что предпосылки описывают некоторое состояние предметной области, то такой набор предпосылок не может быть реально обеспечен в ней, т.е. такое состояние невозможно.

Главное, что компонент автоматического доказательства теорем, который является основным компонентом большинства систем искусственного интеллекта и, в частности, языков программирования искусственного интеллекта, таких как PROLOG, является системой, опровержения резолюций. Для того чтобы доказать, что р следует из некоторого описания состояния (или теории) Т, нужно положить —р и попытаться доказать, что из этого предположения следует утверждение, противоречащее Т. Если это удастся сделать, то тем самым подтверждается утверждение р, а в противном случае оно опровергается.

В исчислении предикатов использование резолюций требует дополнительных усилий, поскольку в этом исчислении присутствуют переменные. Основная операция сопоставления в доказательстве теорем с помощью резолюций называется унификацией. При сопоставлении дополняющих литералов отыскивается такая подстановка переменных, которая превращает оба выражения в идентичные.

Например, выражения БЕЖИТ_БЫСТРЕЕ_ЧЕМ(Х, улитка) и БЕЖИТ_БЫСТРЕЕ _ЧЕМ (черепаха, Y) превращаются в идентичные при подстановке {Х/черепаха, Y/улитка}. Такая подстановка называется унификатором. Наша цель — отыскать наиболее общую подстановку такого рода.

3.4 Поиск доказательства в системе резолюций

Резолюция представляет собой правило вывода, с помощью которого можно вывести новую ППФ (правильно построенную формулу) из старой. Однако в приведенном выше описании логической системы ничего не говорится о том, как выполнить доказательство. Обратим основное внимание на стратегические аспекты доказательства теорем.

Пусть р представляет утверждение "Сократ — это человек", a q — утверждение "Сократ смертен". Пусть наша теория имеет вид

Т={{¬р,q}, {р}}.

Таким образом, утверждается, что если Сократ человек, то Сократ смертен, и что Сократ — человек. {17} выводится из теории Т за один шаг резолюции, эквивалентной правилу modus ponens. .

Выражения {¬р, q} и {р} "сталкиваются" на паре дополняющих литералов р и ¬р, а {q} является резольвентой. Таким образом, теория Алогически подразумевает д, что записывается в форме Т|-q. Теперь можно добавить новую фразу {q} — резольвенту — в теорию Т и получить таким образом теорию

Т'= {{ ¬ip, q}, {p}, {q}}.

Конечно, в большинстве случаев для доказательства требуется множество шагов. Положим, например, что теория Т имеет вид

В этой теории р и q сохраняют прежний смысл, а г представляет утверждение "Сократ — бог". Для того чтобы показать, что Т|- ¬r , потребуются два шага резолюции:

{¬q,p},{Р}/{q}

{¬q,-r},{q} / {-r}

Обратите внимание, что на первом шаге используются две фразы из исходного множества Т, а на втором— резольвента {q}, добавленная к Т. Кроме того, следует отметить, что доказательство может быть выполнено и по-другому, например:

{¬p,q},{¬q,¬r}/{¬p,¬r},

{¬p,¬r},{p}/{¬r}

При таком способе доказательства к Т добавляется другая резольвента. В связи со сказанным возникает ряд проблем.

Когда множество Т велико, естественно предположить, что должно существовать несколько способов вывести интересующую нас конкретную формулу (эта формула является целевой). Естественно, что предпочтение следует отдать тому методу, который позволяет быстрее сформулировать доказательство.

Множество Т может поддерживать и те правила, которые не имеют ничего общего с доказательством целевой формулы. Как же заранее узнать, какие правила приведут нас к цели?

Потенциально весь процесс подвержен опасности комбинаторного взрыва. На каждом шаге множество Г растет, и в нашем распоряжении оказывается все больше и больше возможных путей продолжения процесса, причем некоторые из них могут привести в зацикливанию.

Та схема логического вывода, которой мы следовали до сих пор, обычно называется прямой, или восходящей стратегией. Мы начинаем с того, что нам известно, и строим логические суждения в направлении к тому, что пытаемся доказать. Один из возможных способов преодоления сформулированных выше проблем — попытаться действовать в обратном направлении: от сформулированной целевой формулы к фактам, которые нужны нам для доказательства истинности этой формулы.

Предположим, перед нами стоит задача вывести {q} из некоторого множества фраз

Т= {...,{ ¬p, q},...}.

Создается впечатление, что это множество нужно преобразовать, отыскивая фразы, включающие q в качестве литерала, а затем попытаться устранить другие литералы, если таковые найдутся. Но фраза {q} не "сталкивается" с такой фразой, как, например, { —р, q}, поскольку пара, состоящая из одинаковых литералов q, не является взаимно дополняющей.

Если q является целью, то метод опровержения резолюции реализуется добавлением негативной формулы цели к множеству Т, а затем нужно показать, что формула

Т' = Т U {¬q}

является несовместной. Полагая, что множество Т непротиворечиво, приходим к выводу, что Т' может быть противоречивым вследствие Т |- q.

Рассмотрим этот вопрос более подробно. Сначала к существующему множеству фраз добавляется отрицание проверяемой фразы {-q}. Затем предпринимается попытка резольвировать {-q} с другой фразой в Т. При этом существуют только три возможные ситуации.

В Т не существует фразы, содержащей q. В этом случае доказать искомое невозможно.

Множество Т содержит {q}. В этом случае доказательство выполняется немедленно, поскольку из {¬q} и {q} можно вывести пустую фразу, что означает несовместность (наличие противоречия).

Множество Т содержит фразу {..., q, ...}. Резольвирование этой фразы с {¬q} формирует новую фразу, которая содержит остальные литералы, причем для доказательства противоречия все они должны быть удалены в процессе резольвирования.

Эти оставшиеся литералы можно рассматривать в качестве подцелей, которые должны быть разрешены, если требуется достичь главной цели. Описанная стратегия получила название нисходящей (или обратной) и очень напоминает формулирование подцелей в системе MYCIN.

В качестве примера положим, что множество Т, как и ранее, имеет вид {{¬p,q},{¬q,¬r},{p}}. Мы пытаемся показать, что Т|- ¬r. Для этого докажем, что фраза {r} является следствием существующего множества Т, для чего добавим к этому множеству отрицание фразы ¬r. Поиск противоречия происходит следующим образом:

[{¬q,¬r},{r}]/{¬q}

[{¬p,q},{¬q}]/{¬q}

[{¬p},{p}]/{}

Этот метод доказательства теорем получил название "опровержение резолюции", поскольку, во-первых, он использует правило вывода резолюций, а во-вторых, следует стратегии "от противного" (стратегии опровержения).