Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами (стр. 1 из 3)

Зміст

1. Короткі теоретичні відомості

2. Розробка алгоритму розв’язання задачі

3. Результати обчислень і оцінка похибки

Висновки

Література

Додаток

1. Короткі теоретичні відомості

Часто задачі техніки і природознавства математично зводяться до відшукання розв’язку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє певні початкові умови (задачі Коші). Про інтегрувати таке рівняння в скінченому вигляді вдається досить рідко. при цьому дістають здебільшого такий вигляд, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватись ним не зручно.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень.

Розглянемо окремі методи чисельного розв’язування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної. Наближений розв’язок задачі Коші записують у вигляді певної таблиці значень.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розв’язок y(x) диференціального рівняння

, (1.1)

який задовольняє початкову умову

(1.2)

Геометрично це означає, що треба знайти ту інтегральну криву y(x) рівняння (1.1), яка проходить через точку (x₀,y₀).

Задача Коші (1.1) – (1.2) має єдиний розв’язок, наприклад при виконанні умови такої теореми.

Теорема (Пікара). Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику

з центром у точці (х_0,у₀) і задовольняє в ньому умову Лівшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у, таке, що

(1.3)

для будь-яких точок (х₁,у₁)

і (х₂,у₂)

, то існує єдина диференційована функція

, яка є розв’язком диференціального рівняння (1.1). Цей розв’язок визначений і неперервно диференційований принаймні на відрізку [x₀-h; x₀+h], де

(1.4)

Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розв’язування задачі Коші (1.1)-(1.2), в яких, щоб знайти наближений розв’язок у точці х_k+1=x_k+h, досить знайти її розвязок в точці х_k.

І оскільки розв’язок задачі в точці х₀відомий з початкових умов, то ці методи дають змогу послідовно обчислити значення розв’язку в наступних точках х₁=х₀+h, x₂=x₁+h,...

Окремим представником однокрокових чисельних методів є методи типу Ейлера. Надалі припускатимемо, що функція f(x,y) рівняння (1.1) задовольняє умови теореми Пікара [1].

Метод Ейлера

Нехай на відрізку [x₀,x₀+l] треба знайти чисельний розв’язок задачі Коші(1.1)-(1.2). Для цього відрізок [x₀,x₀+l] поділимо на n (для простоти) рівних частин точками

х₀, х₁, х₂,..., х_n=x₀+l, де х_k=x₀+kh (k=0,1,2,...,n),

.

Величину h називають кроком чисельного інтегрування диференціального рівняння (1.1).

Розв’язати задачу (1.1)-(1.2) чисельно – це означає для заданої послідовності х₀, х₁,…, х_n=b=x₀+l незалежної змінної х та числа у₀ знайти числову послідовність у₁, у₂,…, у_n, тобто для заданої послідовності значень незалежної змінної x_k=x₀+kh (k=0, 1, ..., n) побудувати таблицю наближених значень шуканого розв’язку задачі Коші.

Якщо наближений розв’язок задачі (1.1)-(1.2) в точці х_k відомий, то, проінтегрувавши рівняння (1.1) в межах від х_k до х_k+1, знайдемо його розв’язок в точці х_k+1 за формулою:

(1.5)

Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розв’язування задачі (1.1) - (1.2).Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо

(1.6)

Відкинувши в цій рівності доданок порядку О(h²), дістанемо розрахункову формулу:

(1.7)

яку називають формулою Ейлера. у_k i y(x_k) – відповідно наближене і точне значення шуканого розв’язку задачі (1.1) і (1.2) у точці х_k. Різницю у_k-y(x_k) називають похибкою наближеного значення у_k у точці x_k.

Оскільки дотична до графіка функція у(х) в точці (x_k,y_k) матиме вигляд:

або

Звідси для ординати точки у_k+1 перетину цієї дотичної з прямою х=х_k+1 дістанем формулу (1.7), а це означає, що на кожному з відрізків [x_k,x_k+1], (k=0, 1, 2, ..., n-1 ) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (x_k,y_k). Якщо в площині О_ху позначити точки М_k(x_k;y_k), k=0, 1, 2,...,n і сполучити їх по порядку відрізками, то дістанемо ламану (її називають ламаною Ейлера), яка наближено зображує графік шуканого розв’язку задачі (1.1) – (1.2). У цьому і полягає геометричний зміст методу Ейлера (див. рис. 1)