Эту задачу когда-то решил Эйлер, и замкнутую линию, которая покрывает все ребра графа, теперь называю эйлеровым циклом. По существу была доказана следующая теорема.
Эйлеров цикл в графе существует тогда и только тогда, когда (1) граф связный и (2) все его вершины имеют четные степени.
Деревянный алгоритм
Теперь можно обсудить алгоритм решения ЗК через построение кратчайшего остовного дерева. Для краткости будет называть этот алгоритм деревянным.
Вначале обсудим свойство спрямления. Рассмотрим какую-нибудь цепь, например, на рис.5. Если справедливо неравенство треугольника, то d[1,3]£d[1,2]+d[2,3] и d[3,5]£d[3,4]+d[4,5] Сложив эти два неравенства, получим d[1,3]+d[3,5]£d[1,2]+d[2,3]+d[3,4]+d[4,5]. По неравенству треугольника получим. d[1,5]£d[1,3]+d[3,5]. Окончательно
d[1,5]£d[1,2]+d[2,3]+d[3,4]+d[4,5]
Итак, если справедливо неравенство треугольника, то для каждой цепи верно, что расстояние от начала до конца цепи меньше (или равно) суммарной длины всех ребер цепи. Это обобщение расхожего убеждения, что прямая короче кривой.
Вернемся к ЗК и опишем решающий ее деревянный алгоритм.
1. Построим на входной сети ЗК кратчайшее остовное дерево и удвоим все его ребра. Получим граф G – связный и с вершинами, имеющими только четные степени.
2. Построим эйлеров цикл G, начиная с вершины 1, цикл задается перечнем вершин.
3. Просмотрим перечень вершин, начиная с 1, и будем зачеркивать каждую вершину, которая повторяет уже встреченную в последовательности. Останется тур, который и является результатом алгоритма.
Теорема. Погрешность деревянного алгоритма равна 1.
Доказательство. Возьмем минимальный тур длины fBи удалим из него максимальное ребро. Длина получившейся гамильтоновой цепи LHC меньше fB. Но эту же цепь можно рассматривать как остовное дерево, т. к. эта цепь достигает все вершины и не имеет циклов. Длина кратчайшего остовного дерева LMT меньше или равна LHC. Имеем цепочку неравенств
| fB>LHC³LMT | (6) |
Но удвоенное дерево – оно же эйлеров граф – мы свели к туру посредством спрямлений, следовательно, длина полученного по алгоритму тура удовлетворяет неравенству
| 2LMT>fA | (7) |
Умножая (6) на два и соединяя с (7), получаем цепочку неравенств
| 2fB>2LHC³2LMT³fA | (8) |
Т.е. 2fB>fA, т.е. fA/fB>1+e; e=1.
Теорема доказана.
Таким образом, мы доказали, что деревянный алгоритм ошибается менее, чем в два раза. Такие алгоритмы уже называют приблизительными, а не просто эвристическими.
Известно еще несколько простых алгоритмов, гарантирующих в худшем случае e=1. Для того, чтобы найти среди них алгоритм поточнее, зайдем с другого конца и для начала опишем “brute-forceenumeration” - “перебор животной силой”, как его называют в англоязычной литературе. Понятно, что полный перебор практически применим только в задачах малого размера. Напомним, что ЗК с n городами требует при полном переборе рассмотрения (n-1)!/2 туров в симметричной задаче и (n-1)! Туров в несимметричной, а факториал, как показано в следующей таблице, растет удручающе быстро:
| 5! | 10! | 15! | 20! | 25! | 30! | 35! | 40! | 45! | 50! |
| ~102 | ~106 | ~1012 | ~1018 | ~10125 | ~1032 | ~1040 | ~1047 | ~1056 | ~1064 |
Чтобы проводить полный перебор в ЗК, нужно научиться (разумеется, без повторений) генерировать все перестановки заданного числа m элементов. Это можно сделать несколькими способами, но самый распространенный (т.е. приложимый для переборных алгоритмов решения других задач) – это перебор в лексикографическом порядке.
Пусть имеется некоторый алфавит и наборы символов алфавита (букв), называемые словами. Буквы в алфавите упорядочены: например, в русском алфавите порядок букв аµбµя (символ µ читается “предшествует)”. Если задан порядок букв, можно упорядочить и слова. Скажем, дано слово u=(u1,u2,..,um) – состоящее из букв u1,u2,..,um - и слово v =(v1,v2,..,vb). Тогда если u1µv1, то и uµv, если же u1=v1, то сравнивают вторые буквы и т.д. Этот порядок слов и называется лексикографическим. Поэтому в русских словарях (лексиконах) слово “абажур” стоит раньше слова “абака”. Слово “бур” стоит раньше слова “бура”, потому что пробел считается предшествующим любой букве алфавита.
Рассмотрим, скажем, перестановки из пяти элементов, обозначенных цифрами 1..5. Лексикографически первой перестановкой является 1-2-3-4-5, второй – 1-2-3-5-4, …, последней – 5-4-3-2-1. Нужно осознать общий алгоритм преобразования любой перестановки в непосредственно следующую.
Правило такое: скажем, дана перестановка 1-3-5-4-2. Нужно двигаться по перестановке справа налево, пока впервые не увидим число, меньшее, чем предыдущее (в примере это 3 после 5). Это число, Pi-1 надо увеличить, поставив вместо него какое-то число из расположенных правее, от Pi до Pn. Число большее, чем Pi-1, несомненно, найдется, так как Pi-1< Pi . Если есть несколько больших чисел, то, очевидно, надо ставить меньшее из них. Пусть это будет Pj,j>i-1. Затем число Pi-1 и все числа от Pi до Pn, не считая Pj нужно упорядочить по возрастанию. В результате получится непосредственно следующая перестановка, в примере – 1-4-2-3-5. Потом получится 1-4-2-5-3 (тот же алгоритм, но упрощенный случай) и т.д.
Нужно понимать, что в ЗК с n городами не нужны все перестановки из n элементов. Потому что перестановки, скажем, 1-3-5-4-2 и 3-5-4-2-1 (последний элемент соединен с первым) задают один и тот же тур, считанный сперва с города 1, а потом с города 3. Поэтому нужно зафиксировать начальный город 1 и присоединять к нему все перестановки из остальных элементов. Этот перебор даст (n-1)! разных туров, т.е. полный перебор в несимметричной ЗК (мы по-прежнему будем различать туры 1-3-5-4-2 и 1-2-4-5-3).
Данный алгоритм описан на языке Паскаль (см. Приложения).
Пример 2. Решим ЗК, поставленную в Примере 1 лексикографическим перебором. Приведенная выше программа напечатает города, составляющие лучший тур: 1-2-6-5-4-3 и егодлину 36.
Желательно усовершенствовать перебор, применив разум. В следующем пункте описан алгоритм, который реализует простую, но широко применимую и очень полезную идею.
Алгоритм Дейкстры
Одним из вариантов решения ЗК является вариант нахождения кратчайшей цепи, содержащей все города. Затем полученная цепь дополняется начальным городом – получается искомый тур.
Можно предложить много процедур решения этой задачи, например, физическое моделирование. На плоской доске рисуется карта местности, в города, лежащие на развилке дорог, вбиваются гвозди, на каждый гвоздь надевается кольцо, дороги укладываются верёвками, которые привязываются к соответствующим кольцам. Чтобы найти кратчайшее расстояние между i и k, нужно взять I в одну руку и k в другую и растянуть. Те верёвки, которые натянутся и не дадут разводить руки шире и образуют кратчайший путь между i и k. Однако математическая процедура, которая промоделирует эту физическую, выглядит очень сложно. Известны алгоритмы попроще. Один из них – алгоритм Дейкстры, предложенный Дейкстрой ещё в 1959г. Этот алгоритм решает общую задачу:
В ориентированной, неориентированной или смешанной (т. е. такой, где часть дорог имеет одностороннее движение) сети найти кратчайший путь между двумя заданными вершинами.
Алгоритм использует три массива из n (= числу вершин сети) чисел каждый. Первый массив a содержит метки с двумя значениями: 0 (вершина ещё не рассмотрена) и 1 (вершина уже рассмотрена); второй массив b содержит расстояния – текущие кратчайшие расстояния от vi до соответствующей вершины; третий массив c содержит номера вершин – k-й элемент ck есть номер предпоследней вершины на текущем кратчайшем пути из vi в vk. Матрица расстояний Dik задаёт длины дуг dik; если такой дуги нет, то dik присваивается большое число Б, равное “машинной бесконечности”.
Теперь можно описать:
Алгоритм Дейкстры
1. Инициализация.
В цикле от одного до n заполнить нулями массив а; заполнить числом i массив с: перенести i-тую строку матрицы D в массив b;
a[i]:=1; c[i]:=0; {i-номер стартовой вершины}
2. Общий шаг.
Найти минимум среди неотмеченных (т. е. тех k, для которых a[k]=0); пусть минимум достигается на индексе j, т. е. bj£bk; a[j]:=1;
если bk>bj+djk то (bk:=bj+djk; ck:=j) {Условие означает, что путь vi..vk длиннее, чем путь vi..vj,vk . Если все a[k] отмечены, то длина пути vi..vk равна b[k]. Теперь надо перечислить вершины, входящие в кратчайший путь}
3. Выдача ответа.
{Путь vi..vk выдаётся в обратном порядке следующей процедурой:}
3.1. z:=c[k];
3.2. Выдать z;
3.3. z:=c[z]; Если z = 0, то конец, иначе перейти к 3.2.
Для выполнения алгоритма нужно nраз просмотреть массив b из n элементов, т. е. алгоритм Дейкстры имеет квадратичную сложность.
Таким образом, для решения ЗК нужно n раз применить алгоритм Дейкстры следующим образом.
Возьмём произвольную пару вершин
j,k. Исключим непосредственное ребро C[j,k]. С помощью алгоритма Дейкстры найдём кратчайшее расстояние между городами j..k. Пусть это расстояние включает некоторый город m. Имеем часть тура j,m,k. Теперь для каждой пары соседних городов (в данном примере – для j,m и m,k) удалим соответственное ребро и найдём кратчайшее расстояние. При этом в кратчайшее расстояние не должен входить уже использованный город.