Развлечения и игры: моделирование вероятности событий в азартных играх и спорте (стр. 1 из 2)
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Реферат
на тему: «Развлечения и игры: моделирование вероятности событий в азартных играх и спорте»
Губкин 2006
Содержание
Введение
1. Вероятность победы при игре в кости
2. Вероятность получить три карты одинакового достоинства при игре в пятикарточный покер с обменом
3. Вероятность победы в спортивных соревнованиях
4. Определение среднего размера ставки
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Данный отчет выполнен на тему: «Развлечения и игры: моделирование вероятности событий в азартных играх и спорте».
Актуальность данной темы заключается в том, что азартные игры и наблюдение за спортивными состязаниями – популярное времяпрепровождение. Я считаю, что они так волнуют, поскольку никогда не знаешь, что случится в следующую минуту. Моделирование методом Монте-Карло представляет собой мощное средство, позволяющее определять вероятность событий в азартных играх и спорте. По сути, мы оцениваем вероятность, многократно воспроизводя азартную или спортивную игру. Если, например, мы с помощью Excel 10 000 раз смоделируем бросание кости и 4900 раз выиграем, то получим вероятность выигрыша, равную 4900/10000 или 49%. Если мы 1000 раз воспроизведем мужской полуфинал НССА, и команда Сиракуз выиграет 300 раз, то мы сможем оценить вероятность победы команды города Сиракуз на чемпионате как равную 300/1000 или 30%.
Целью данной работы является определение вероятности выигрыша при игре в кости, в покер и в баскетбол.
Для решения поставленной цели, необходимо сделать следующее:
1. Изучить правила рассматриваемых игр.
2. Познакомиться с их особенностями.
3. Рассчитать в Excel вероятности выигрышей.
Данный отчет был реализован в компьютерной программе Microsoft Excel, который помимо своих стандартных функций и возможностей позволяет моделировать вероятности событий в азартных играх и спорте.
1. Вероятность победы при игре в кости
Какова вероятность победы при игре в кости?
Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо знать правила игры. При игре в кости участники бросают два кубика. Если в сумме выпадает 2, 3 или 12, участник проигрывает. Если – 7 или 11, то он выигрывает. Если выпадает другое число, участник продолжает бросать кости до тех пор, пока не выпадет число, равное числу, выпавшему при первом броске (называемому очком), или семерка. Если очко выпадет раньше семерки, игрок побеждает. Если семерка выпадет раньше очка, игрок проигрывает. Путем сложных вычислений мы можем доказать, что вероятность выигрыша в кости равна 0,493. Для подтверждения мы с помощью Excel многократно смоделируем игру в кости (я это сделал 2000 раз).
В данном примере важно помнить, что мы не знаем, сколько раз придется бросить кости, чтобы закончить игру. Можно доказать, что вероятность того, что игра потребует более 50 бросков, крайне низка, и поэтому мы будем воспроизводить именно 50 бросков костей. После каждого броска мы отслеживаем состояние игры:
· 0 – игра проиграна;
· 1 – игра выиграна;
· 2 – игра продолжается.
В ячейке вывода мы будем отслеживать состояние игры после пятидесятого броска. Проделанная мной работа показана на рис.1.
В ячейке В2 я, воспользовавшись функцией СЛУЧМЕЖДУ (RANDBETWEEN), сгенерировал число на первой кости при первом броске с помощью формулы СЛУЧМЕЖДУ(1;6). Функция СЛУЧМЕЖДУ (RANDBETWEEN) генерирует число, которое с одинаковой вероятностью принимает все значения из диапазона заданных аргументов, и поэтому на каждой кости может с одинаковой (1/6) вероятностью выпасть 1, 2, 3, 4, 5, или 6. Скопировав эту формулу в диапазон В2:AY3, мы сгенерируем 50 бросков кости (рис.1).
Рис.1. Моделирование игры в кости
В диапазоне ячеек В4:AY4 я вычисляю общую сумму цифр на костях для каждого из 50 бросков, копируя из ячейки В4 в С4:AY4 формулу СУММ (В2:В3). В ячейке В5 я определяю состояние игры после первого броска по формуле ЕСЛИ(ИЛИ(В4=2;В4=3;В4=12);0;ЕСЛИ(ИЛИ(В4=7; В4=11);1;2)). Помните: результат, равный 2, 3 или 12, означает проигрыш (в ячейку вводится 0); а результат, равный 7 или 11, означает выигрыш (в ячейку вводится 1); любые другие результаты означают продолжение игры (в ячейку вводится 2).
В ячейке С5 я вычисляю состояние игры после второго броска по формуле ЕСЛИ(ИЛИ(В5=0;В5=1);В5;ЕСЛИ(С4=$В4;1;ЕСЛИ(С4=7;0;2))). Если игра закончилась после первого броска, мы сохраняем состояние игры. Если мы выбросили очко, мы фиксируем победу, вводя 1 в ячейку. Если мы выбросили 7, мы фиксируем проигрыш. В противном случае игра продолжается. Обратите внимание: в этой формуле я добавил знак доллара в ссылке на столбец В ($В4), чтобы гарантировать, что при каждом броске мы проверяем результат на равенство сумме, выпавшей после первого броска. Скопировав эту формулу из ячейки С5 в диапазон D5:AY5, мы определим состояние игры со 2-го по 50-й бросок.
Результат игры из ячейки AY5 скопируем в ячейку С6, чтобы его можно было легко увидеть. Затем при помощи таблицы подстановки с одним параметром воспроизведем игру в кости 2000 раз. В ячейку Е8 введем формулу =С6, чтобы отслеживать финальный итог игры (0 – проигрыш, 1 – выигрыш). Затем выделим диапазон таблицы (D9:E2009) и в меню Данные (DATA) выберем команду Таблица подстановки (Table). В поле Подставлять значение по строкам в (Column Input Cell) я указываю пустую ячейку. После нажатия F9 Excel смоделируем игру в кости 2000 раз.
В ячейке Е8 можно вычислить долю выигрыша во всех смоделированных играх по формуле СРЗНАЧ(Е10:Е2009). Из 2000 интеракций мы выигрывали в 49,5% случаев. Если бы мы провели больше испытаний (скажем 10 000 интеракций) мы бы гораздо точнее вычислили реальную вероятность выигрыша в кости.
2. Вероятность получить три карты одинакового достоинства при игре в пятикарточный покер с обменом
Обычная колода карт содержит 4 карты каждого достоинства – 4 туза, 4 двойки и так далее до четырех королей. Чтобы оценить вероятность получения определенной покерной комбинации, мы назначим тузу значение 1, двойке – 2 и далее по старшинству, так, чтобы валету соответствовало значение 11, даме – 12, королю – 13.
В пятикарточном покере с обменом вам сдают пять карт. Многие вероятности могут быть интересными, однако давайте оценим с помощью моделирования вероятность получения трех карт одинакового достоинства, т.е. получения трех карт одного ранга и отсутствие пар (пара и три карты одного ранга на руках образуют комбинацию «фулл хаус»). Чтобы смоделировать пять сданных карт, мы сделаем следующее (см. рис. 2):
· сопоставим случайное число с каждой картой колоды;
· пяти отобранным картам назначим наименьшие случайные числа. Это обеспечит каждой карте одинаковую вероятность быть отобранной;
· подсчитаем, сколько каких карт (начиная с туза и заканчивая королем) сдано.
·
Рис.2. Моделирование игры в покер для оценки вероятности сдачи трех карт одного достоинства
Для начала перечислим в ячейках D3:D54 все карты колоды: четыре «первых», четыре «вторых» и так далее до четырех «двенадцатых» и четырех «тринадцатых». Затем скопируем из ячейки Е3 в диапазон Е4:Е54 функцию СЛЧИС( ) [RAND( )], чтобы сопоставить с каждой картой колоды случайное число. Скопировав из ячейки С3 в диапазон С4:С54 формулу РАНГ (Е3;$Е$3:$Е$54;1), мы получим упорядоченный по возрастанию ряд всех случайных чисел (назовем его рангом числа). Например, на рис.2 видно, что первая из «третьих» карт колоды (строка 11) сопоставлена с 24-м по величине случайным числом (в электронной таблице у вас будут другие результаты, поскольку при ее открытии случайные числа генерируются заново).
Синтаксис функции РАНГ (RANK) – РАНГ (число; ссылка; 1 или 0). Если последний аргумент функции РАНГ (RANK) равен 1, функция возвращает ранг числа в массиве, присваивая первому по величине наименьшему числу ранг 1, второму по величине наименьшему числу – ранг 2 и так далее. Если последний аргумент функции РАНГ (RANK) равен 0, функция возвращает ранг числа в массиве, присваивая первому по величине наибольшему числу ранг 1, второму по величине наибольшему числу – ранг 2 и так далее.
При ранжировании случайных чисел совпадения невозможны (потому что у случайных чисел должны совпасть шестнадцать знаков).
Предположим, например, что мы ранжируем числа 1, 3, 3 и 4 и последний аргумент функции РАНГ (RANK) равен 1. Excel вернет следующие значения рангов:
| Число | Ранг (наименьшему числу присваивается ранг 1) |
| 1 3 3 4 | 1 2 2 4 |
Поскольку 3 – второе по величине наименьшее число, ему должен быть присвоен ранг 2. Другому числу 3 также будет присвоен ранг 2. Поскольку 4 – четвертое по величине наименьшее число, ему будет присвоен ранг 4.
Скопировав из ячейки В3 в диапазон В4:В7 формулу ВПР (А3; поиск; 2; ЛОЖЬ), мы сдаем пять карт из колоды. Данная формула «сдает» пять карт, соответствующих пяти наименьшим по величине случайным числам (диапазону таблицы поиска C3:D54 присвоено имя поиск). Значение ЛОЖЬ используется в функции ВПР (VLOOKUP) потому, что нам на требуется сортировка рангов по возрастанию.
Назначив имя диапазона карты_на_руках нашим сданным картам (диапазон В3:В7) и скопировав из ячейки J3 в диапазон J4:J15 формулу СЧЕТЕСЛИ (карты_на_руках;I3), мы подсчитаем, сколько каких карт сдано. В ячейке J17 мы определяем, есть ли у нас три карты одного ранга по формуле ЕСЛИ(И(МАКС(J3:J15)=3;СЧЕТЕСЛИ(J3:J15;2)=0);1;0). Эта формула возвращает 1 тогда и только тогда, если в нашу комбинацию попало три карты одинакового достоинства и нет пар.
Далее при помощи таблицы подстановки с одним параметром моделируем 400 покерных комбинаций. В ячейке J19 мы копируем результат из ячейки J17 с помощью формулы =J17. После этого мы выделяем диапазон таблицы I19:J4019. Выбрав из меню Данные (DATA) команду Таблица подстановки (Table), мы создаем таблицу подстановки с одним параметром, указывая в поле Подставлять значения по строкам в (Column Input Cell) любую пустую ячейку. Щелкнув ОК, мы смоделируем 4000 покерных комбинаций. В ячейке G21мы подсчитываем вероятность сдать три карты одного достоинства по формуле СРЗНАЧ(J20:J4019). Она равна 1,9% (используя основы теории вероятности, можно доказать, что вероятность получения трех карт одного достоинства равна 2,1%).