Разработка анимационно-обучающей программы механической системы (стр. 6 из 13)
Решение. Сначала все тела системы покоились, поэтому приращение импульсов тел при движении равно самим импульсам. Силы натяжения шнура слева и справа одинаковы, а следовательно импульсы груза
и лестницы с человеком 
в каждый момент времени будут равны между собой, т. т. 
, или
,где
v1, v и v2 - - скорости груза, человека и лестницы. Учитывая , что v2= -v1 и v=v2 + v¢, где v¢ - скорость человека относительно лестницы, получим v1= (m/2M)v¢. (1)С другой стороны , импульс всей системы. Отсюда с учетом (1) найдем
.И наконец, искомое перемещение
.Другой способ решения основан на свойстве центра инерции данной системы характеризуется радиусом – вектором
,где
- радиусы-векторы центров инерции груза M, лестницы и человека относительно некоторой точки О данной системы отсчета. Отсюда перемещение центра инерции 
равно 
,где
-перемещения груза M, лестницы и человека относительно данной системы отсчета. Имея в виду, что 
получим в результате 
.1.3. система состоит из двух шариков с массами
, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости 
, как показано на рис.7, после чего система начала двигаться в однородном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха и считая, что в начальный момент пружинка не деформирована, найти:1) скорость
центра инерции этой системы в зависимости от времени;2) внутреннюю механическую энергию системы в процессе движения.
 |
Рис. 7 рис. 8
Решение. 1. Приращение вектора скорости центра инерции, есть
. проинтегрировав это уравнение, получим 
, где 
-начальная скорость центра инерции. Отсюда 
.3. Внутренняя механическая энергия системы – это ее энергия
.4. Шарик с кинетической энергией T, испытав лобовое соударение с первоначально покоившейся упругой гантелью (рис. 8), отлетел в противоположном направлении с кинетической энергией
. Массы всех трех шариков одинаковы. Найти энергию колебаний гантели после удара.Решение. пусть
-импульсы налетающего шарика до и после удара, а 
-импульс и кинетическая энергия гантели как целого после удара, Е -энергия колебаний. Согласно законам сохранения импульса и энергии, 
.Из этих двух уравнений с учетом того, что
, получим 
.5 В К-системе частица 1 массы
налетает на покоящуюся частицу 2 массы 
. Заряд каждой частицы равен 
. Найти минимальное расстояние, на которое они сблизятся при лобовом соударении, если кинетическая энергия частицы 1 вдали от частицы 2 равна 
. 
Рис. 9
Решние . Рассмотрим этот процесс как в К-системе, так и в Ц-системе.
1. В К-системе в момент наибольшего сближения обе частицы будут двигаться как единое целое со скоростью
, которую можно определить на основании закона сохранения импульса: 
,где p1 –импульс налетающей частицы,
С другой стороны, из закона сохранения энергии следует
,где приращение потенциальной энергии системы
Исключив
из этих двух уравнений, найдем 
.2. В Ц-системе решение наиболее просто: здесь суммарная кинетическая энергия частиц идет целиком на приращение потенциальной энергии системы в момент наибольшего сближения:
,где , согласно (4.16),
Отсюда легко найти
6. Частица массы
с импульсом 
испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массы 
. Найти импульс 
первой частицы после столкновения, в результате которого она рассеялась под углом 
к первоначальному направлению движения.Решение. Из закона сохранения импульса (рис. 69) находим
где
-импульс второй частицы после столкновения.С другой стороны, из закона сохранения энергии следует, что
, где 
-кинетические энергии первой и второй частиц после столкновения. Преобразуем это равенство с помощью соотношения 
к виду  |
 |
Если
то физический смысл имеет только знак плюс перед корнем. Это следует из того, что при этом условии корень будет больше, чем а так как ṕ́’1 – это модуль, то, естественно, он не может быть отрицательным.
Если же m1>m2 , то физический смысл имеют оба знака перед
корнем – ответ в этом случае получается неоднозначным: под углом
импульс рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это зависит от относительного расположения частиц в момент соударения).
1.7. Какую часть η своей кинетической энергии теряет частица массы m1 при упругом рассеянии под предельным углом на покоящейся частице массы m2 , где m1>m2
§ 1.3 Анимационное моделирование процесса обучения механических систем