Разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения (стр. 1 из 2)
Введение
1 Постановка задачи
2 Математические и алгоритмические основы решения задачи
3 Программная реализация решения задачи
4 Пример выполнения программы
Заключение
Список использованных источников и литературы
Введение
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Алгебраическое уравнение четвертой степени.
,где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой
уравнение сводится к квадратному уравнению 
с последующим решением двух двучленных уравнений 
и 
( 
и 
- корни соответствующего квадратного уравнения).Если
и 
, то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня: 
, 
.Если
, 
то биквадратное уравнение имеет два действительных корня 
и мнимых сопряженных корня: 
.Если
и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:Случай
, аналогичен разобранному. 
, Целью данной курсовой работы является разработка программного обеспечения для нахождения корней биквадратного уравнения.
1. Постановка задачи
Биквадратным называется уравнение вида ax4+bx2+c=0, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 = y, придем к квадратному уравнению ay2+by+c=0.
Требуется разработать программное обеспечение для нахождения корней биквадратного уравнения.
Пример 1.
Решить уравнение
x4+4x2-21=0.
Решение:
Положив x2 = y, получим квадратное уравнение y2+4y -21=0, откуда находим y1= -7, y2=3.
Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим
,которые являются корнями заданного биквадратного уравнения..
Ответ:
.Пример 2.
Решить биквадратное уравнение.
2х4 – 5х2+2=0
Решение:
Обозначим х2=t. Тогда х4=(х2)2=t2 и уравнение примет вид:
2t2–5t+2=0
D=(–5)2 – 4(2)(2)=25 – 16 = 9 > 0,
t1=(5+3) / 4=2 и t2=(5 – 3) / 4=1 / 2.
Так как t=x2, то корни исходного уравнения найдем в результате решения уравнений
х1=2 и х2=1/2.
Имеем
Ответ:
2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
Рассмотрим биквадратное уравнение
ax4 + bx2 + c = 0.
Введем подстановку
y = x2.
Получим квадратное уравнение общего вида
ay2 + by + c = 0.
Таким образом, для решения биквадратного уравнения необходимо помнить, что оно свелось к системе двух уравнений второй степени:
y = x2
ay2 + by + c = 0.
Решим квадратное уравнение относительно переменной "y". Получим три возможных варианта решений:
дискриминант отрицателен: уравнение не имеет действительных решений;
дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет один двукратный корень;
дискриминант не отрицателен и равен нулю: уравнение имеет два различных корня.
В первом случае, когда дискриминант квадратного уравнения отрицателен, система не имеет решения, так как одно из входящих в нее уравнений, а именно квадратное уравнение ay2 + by + c = 0, не имеет решения.
Последние два случая соответствуют неотрицательному дискриминанту квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные решения. Однако, обратите внимание на тот факт, что первое уравнение системы ax2 = y имеет смысл только при значениях y>=0. Поэтому, если оба корня квадратного уравнения ay2 +by +c = 0 отрицательны, система уравнений так же не имеет решения. Кроме того, если хотя бы один из корней квадратного уравнения ay2 +by +c = 0 отрицательный, система уравнений будет иметь только два действительных решения.
И только в том случае, когда оба корня квадратного уравнения неотрицательны, система уравнений имеет четыре действительных решения. Дадим теперь словесное описание алгоритма.
Словесное описание алгоритма решения задачи:
Ввести a, b, c.
Присвоить d = b2 - 4ac
Если d<0 перейти к 15
Присвоить y1 = (-b - SQRT(d)) / (2*a)
Присвоить y2 = (-b + SQRT(d)) / (2*a)
Если y1<0 и y2< 0 перейти к 15
Если y1<0 и y2>=0 перейти к 9
Если y1>=0 и y2<0 перейти к 13
Присвоить x1 = SQRT(y2)
Присвоить x2 = -x1
Выдать "x1=";x1, "x2=";x2
Перейти к 16
Присвоить y2 = y1
Перейти к 9
Выдать "Действительных решений нет"
Закончить
3. Программная реализация решения задачи
Файл UBikvur.h
//---------------------------------------------------------------------------
#ifndef UBikvurH
#define UBikvurH
//---------------------------------------------------------------------------
#include <Classes.hpp>
#include <Controls.hpp>
#include <StdCtrls.hpp>
#include <Forms.hpp>
#include "HandTuning.h"
#include <ExtCtrls.hpp>
#include <Menus.hpp>
//---------------------------------------------------------------------------
class TfrmBikvur : public TForm
{__published: // IDE-managed Components
THandTuning *htA;
THandTuning *htB;
THandTuning *htC;
TButton *btnCalc;
TListBox *lbxX;
TLabel *Label1;
TLabel *Label2;
TButton *btnExit;
TButton *btnClear;
TMainMenu *MainMenu1;
TMenuItem *N1;
TMenuItem *N2;
TMenuItem *N3;
TMenuItem *N4;
TMenuItem *N5;
TLabel *Label3;
TLabel *Label4;
TLabel *Label5;
void __fastcall btnCalcClick(TObject *Sender);
void __fastcall btnExitClick(TObject *Sender);
void __fastcall btnClearClick(TObject *Sender);
private: // User declarations
list<double> __fastcall Bikvur(double a, double b, double c);
public: // User declarations
__fastcall TfrmBikvur(TComponent* Owner);};
//---------------------------------------------------------------------------
extern PACKAGE TfrmBikvur *frmBikvur;
//---------------------------------------------------------------------------
#endif
Файл UBikvur.cpp
//---------------------------------------------------------------------------
#include <vcl.h>
#include <math.h>
#include <list.h>
#pragma hdrstop
#include "UBikvur.h"
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma package(smart_init)
#pragma link "HandTuning"
#pragma resource "*.dfm"
TfrmBikvur *frmBikvur;
//---------------------------------------------------------------------------
list<double> __fastcall TfrmBikvur::Bikvur(double a, double b, double c)
{double y1, y2;
list<double> x;
//вычислене d дискриминанта
double d = b * b - 4 * a * c;
//корни существуют, если d >= 0
if(d >= 0)
{y1 = (-b - sqrt(d)) / 2 * a;
y2 = (-b + sqrt(d)) / 2 * a;}
if(d < 0 || (y1 < 0 && y2 < 0))
{Application->MessageBoxA(L"Действительных корней нет", L"Информация", MB_OK + MB_ICONINFORMATION);