Реализация АВЛ–деревьев через классы объектно–ориентированного программирования (стр. 1 из 6)
Министерство образования и науки Украины
Запорожская государственная инженерная академия
Кафедра программного обеспечения автоматизированных систем
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине «Объектно – ориентированное программирование »
На тему: «Реализация АВЛ – деревьев через классы объектно – ориентированного программирования»
Выполнил: ст. гр. СП – 07 – 1з Воронько О.А.
Проверил: Попивщий В.И.
Запорожье, 2009г.
ПЛАН
Введение
1. Основные термины
2. Основные операции с АВЛ - деревьями
3. Алгоритм реализации АВЛ – деревьев через классы объектно – ориентированного программирования
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Язык программирования С++ является одним из наиболее популярных средств объектно – ориентированного программирования, позволяющим разрабатывать программы, эффективные по объему кода и скорости выполнения. С++ включает большое число операций и типов данных, средства управления вычислительными процессами, механизмы модификации типов данных и методы их обработки и, как следствие, является мощным языком программирования. Он позволяет описывать процессы обработки информации, начиная с уровня отдельных разрядов, видов и адресов памяти, переходя на основе механизмов объектно – ориентированного программирования к близким конкретным предметным областям понятиям.
Первые программы для цифровых вычислительных машин редко превышали объем 1 кбайт. Объемы используемых программ и программных систем измеряются не только десятками килобайтов, но и сотнями мегабайтов. Вместе с тем удельная стоимость создания программ (нормированная объемом программы) до последнего времени менялась мало. Более того, с ростом объема программы удельная стоимость ее создания могла нелинейно возрастать. Поэтому не удивительно, что одним из основных факторов, определяющих развитие технологии программирования, является снижение стоимости проектирования и создания программных продуктов (ПП), или борьба со сложностью программирования.
Другими важнейшими факторами, влияющими на эволюцию методов проектирования и создания ПП, являются:
· изменение архитектур вычислительных средств (ВС) в интересах повышения производительности, надежности и коммуникативности;
· упрощение взаимодействия пользователей с ВС и интеллектуализация ВС.
Действие двух последних факторов, как правило, сопряжено с ростом сложности программного обеспечения ВС. Сложность представляет неотъемлемое свойство программирования и программ, которое проявляется во времени и стоимости создания программ, в объеме или длине текста программы, характеристиках ее логической структуры, задаваемой операторами передачи управления (ветвления, циклы, вызовы подпрограмм и др.).
Можно выделить 5 следующих источников сложности программирования:
1) решаемая задача;
2) язык программирования;
3) среда выполнения программы;
4) технологический процесс коллективной разработки и создания ПП;
5) стремление к универсальности и эффективности алгоритмов и типов данных.
От свойства сложности нельзя избавиться, но можно изменять характеристики его проявления путем управления или организации.
В программировании широко используется фундаментальный принцип управления сложными системами, который известен человеку с глубокой древности – devide et impera (разделяй и властвуй, лат.) и широко им применяется при разработке и проектировании любых сложных технических систем.
В настоящее время объектно – ориентированное программирование (ООП) является доминирующим стилем при создании больших программ.
1. ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ
Так исторически сложилось, что у этих деревьев есть два альтернативных названия: АВЛ - деревья и сбалансированные деревья. АВЛ произошло от фамилий изобретателей.
Идеально сбалансированным называется дерево, у которого для каждой вершины выполняется требование: число вершин в левом и правом поддеревьях различается не более, чем на 1. Однако идеальную сбалансированность довольно трудно поддерживать.
В некоторых случаях при добавлении/удалении может потребоваться значительная перестройка дерева, не гарантирующая логарифмической сложности. Поэтому Г.М. Адельсон - Вельский и Е.М. Ландис ввели менее строгое определение сбалансированности и доказали, что при таком определении можно написать программы добавления/удаления, имеющие логарифмическую сложность и сохраняющие дерево сбалансированным.
Дерево считается сбалансированным по АВЛ (в дальнейшем просто «сбалансированным»), если для каждой вершины выполняется требование: высота левого и правого поддеревьев различаются не более, чем на 1. Не всякое сбалансированное дерево идеально сбалансировано, но всякое идеально сбалансированное дерево сбалансировано.
Бинарные деревья поиска предназначены для быстрого доступа к данным. В идеале разумно сбалансированное дерево имеет высоту порядка O(log2n). Однако при некотором стечении обстоятельств дерево может оказаться вырожденным. Тогда высота его будет O(n), и доступ к данным существенно замедлится. Рассмотрим модифицированный класс деревьев, обладающих всеми преимуществами бинарных деревьев поиска и никогда не вырождающихся. Они называются сбалансированными или АВЛ - деревьями. Под сбалансированностью будем понимать то, что для каждого узла дерева высоты обоих его поддеревьев различаются не более чем на 1.
Строго говоря, этот критерий нужно называть АВЛ - сбалансированностью в отличие от идеальной сбалансированности, когда для каждого узла дерева количества узлов в левом и правом поддеревьях различаются не более чем на 1. Здесь мы всегда будем иметь в виду АВЛ - сбалансированность.
Новые методы вставки и удаления в классе АВЛ - деревьев гарантируют, что все узлы останутся сбалансированными по высоте. На рисунках 1 и 2 показаны эквивалентные представления массива АВЛ - деревом и бинарным деревом поиска. Рисунок 1 представляет простой пятиэлементный массив А (A[5] = {1,2,3,4,5}), отсортированный по возрастанию. Рисунок 2 представляет массив B (B[8] = {20, 30, 80, 40, 10, 60, 50, 70}).
Бинарное дерево поиска имеет высоту 5, в то время как высота АВЛ - дерева равна 2. В общем случае высота сбалансированного дерева не превышает O(log2n). Таким образом, АВЛ - дерево является мощной структурой хранения, обеспечивающей быстрый доступ к данным.
Для этого используем подход, при котором поисковое дерево строится отдельно от своих узлов. Сначала разрабатываем класс AVLTreeNode, а затем используем объекты этого типа для конструирования класса AVLTree. Предметом пристального внимания будут методы Insert и Delete.
Они требуют тщательного проектирования, поскольку должны гарантировать, что все узлы нового дерева останутся сбалансированными по высоте.
2. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ С АВЛ - ДЕРЕВЬЯМИ
Восстановление сбалансированности.
Пусть имеется дерево, сбалансированное всюду, кроме корня, а в корне показатель сбалансированности по модулю равен 2 - м. Такое дерево можно сбалансировать с помощью одного из четырех вращений. При этом высота дерева может уменьшиться на 1. Для восстановления баланса после удаления/добавления вершины надо пройти путь от места удаления/добавления до корня дерева, проводя при необходимости перебалансировку и изменение показателя сбалансированности вершин вдоль пути к корню.
Добавление элемента в сбалансированное дерево.
Алгоритм вставки нового элемента в сбалансированное дерево будет состоять из следующих трех основных шагов:
1. Поиск по дереву.
2. Вставка элемента в место, где закончился поиск, если элемент отсутствует.
3. Восстановление сбалансированности.
1 - ый и 2 - ый шаги необходимы для того, чтобы убедиться в отсутствии элемента в дереве, а также найти такое место вставки, чтобы после вставки дерево осталось упорядоченным.
3 - ий шаг представляет собой обратный проход по пути поиска: от места добавления к корню дерева. По мере продвижения по этому пути корректируются показатели сбалансированности проходимых вершин и производится балансировка там, где это необходимо. Добавление элемента в дерево никогда не требует более одного поворота.
Эффективность сортировки вставкой в АВЛ - дерево.
Ожидаемое число сравнений, необходимых для вставки узла в бинарное дерево поиска, равно O(log2n). Поскольку в дерево вставляется n элементов, средняя эффективность должна быть O(n log2n). Однако в худшем случае, когда исходный список отсортирован в обратном порядке, она составит O(n2). Соответствующее дерево поиска вырождается в связанный список. Покажем, что худший случай требует O(n2) сравнений. Первая вставка требует 0 сравнений. Вторая вставка - двух сравнений (одно с корнем и одно для определения того, в какое поддерево следует вставлять данное значение). Третья вставка требует трех сравнений, 4 - я четырех,..., n - я вставка требует n сравнений. Тогда общее число сравнений равно:
0 + 2 + 3 + ... + n = (1 + 2 + 3 + ... + n) - 1 = n(n + 1) / 2 - 1 = O(n2)
Для каждого узла дерева память должна выделяться динамически, поэтому худший случай не лучше, чем сортировка обменом.
Когда n случайных значений повторно вставляются в бинарное дерево поиска, можно ожидать, что дерево будет относительно сбалансированным. Наилучшим случаем является законченное бинарное дерево. Для этого случая можно оценить верхнюю границу, рассмотрев полное дерево глубиной d. На i-ом уровне (1≤i≤d) имеется 2i узлов. Поскольку для помещения узла на уровень i требуется i+1 сравнение, сортировка на полном дереве требует (i+1) * 2i сравнений для вставки всех элементов на уровень i.
Если вспомнить, что n = 2(d+1) - 1, то верхняя граница меры эффективности выражается следующим неравенством:
