Решение задач линейного программирования (стр. 5 из 5)

0,57х1+0.57х2+0,43х3

-2,31;

х1,х2,х3

0

Решим задачу с использованием функции Поиск решения в MS Excel аналогично пунктам 3.1.2-3.1.3.

В ячейку Е5 введем целевую функцию, в ячейки В6:В19 – ограничения, переменные будем изменять в ячейках В3:В5 (рис.12).

Решив задачу, получаем:

х1=326шт./мес., х2=762 шт./мес., х3 = 12 шт./мес.,

L(X) = 39753 руб./мес.,

т.е. в текущем месяце необходимо произвести 326 полок А, 762 полки В1, 12 полок В2. После реализации всех произведенных полок комбинат получит прибыль в размере 39753 рублей. Оформим отчеты аналогично п.3.1.4.

Отчет по результатам, состоящий из 3 таблиц:

1. Информация о целевой функции.

2. Информация о значениях переменных, полученных в результате решения задачи.

3. Результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

Анализ отчета показывает, что мы можем уменьшить фонд времени фонд времени по производству полок В на 60,86 ч и это никак не повлияет на оптимальное решение. Таким образом, мы снизим время работы автомата, производящего комплектующие полки В1 и В2.

Емкость сушилки может быть снижена до 326 полок.

На основании проведенного анализа можно сделать вывод о том, что существуют причины, не позволяющие мебельному комбинату выпускать большее количество полок и получать большую прибыль. Проанализировать эти причины позволяет отчет по устойчивости.

Отчет по устойчивости

Проанализировав 2 таблицу, мы увидим, что целесообразно увеличить емкость рынка самое большое на 425,6 = 426 полок. Это приведет к новым оптимальным решениям, увеличивающим прибыль по сравнению с найденной. Дальнейшее увеличение емкости рынка сверх указанных пределов не будет больше улучшать решение. Из колонки «Теневая цена» видно, что каждая полка, которая будет размещена на рынке, принесет прибыль равную 34 руб..

Отчет по пределам показывает найденные результаты и пределы, в которых они могут изменяться.

3.3. Решение двухиндексной задачи линейного программирования. Транспортная задача

3.3.1. Определение переменных

Обозначим через хij [меш.] количество мешков с мукой, которые будут перевезены с i-го склада в j-ю хлебопекарню.

3.3.2. Проверка сбалансированности задачи

Прежде чем проверять сбалансированность задачи, надо исключить объем гарантированной поставки из дальнейшего рассмотрения. Для этого вычтем 40 т из следующих величин:

· из запаса третьего склада = 60-40= 20т/мес.;

· из потребности в муке пятой хлебопекарни

b2 = 73,92-40 = 33,92 т/мес.

Согласно условию задачи мука хранится и перевозится в мешках по 50 кг, то есть единицами измерения переменных хij являются мешки муки. Но

запасы муки на складах и потребности в ней магазинов заданы в тоннах. Поэтому для проверки баланса и дальнейшего решения задачи приведем эти величины к одной единице измерения - мешкам. Например, запас муки на

первом складе равен 80 т-мес., или 80т/мес. / 0,050т./меш.= 1600 меш/мес, а потребность третьей хлебопекарни составляет 58,88т/мес, или 58,88т/мес / 0,050 т./меш.= 1178меш./мес. Округление при расчете потребностей надо проводить в большую сторону, иначе потребность в муке не будет удовлетворена полностью.

Для данной ТЗ имеет место соотношение

склады хлебопекарни

1600+1400+400+1100 < 1178+1249+679

4500меш./мес. 3106 меш./мес.

Ежемесячный суммарный запас муки на складах больше суммарной потребности хлебопекарен на 1394 мешков муки, откуда следует вывод: ТЗ не сбалансирована.

3.3.3. Построение сбалансированной транспортной матрицы

Сбалансированная транспортная матрица представлена в таблице 3. Стоимость перевозки муки должна быть отнесена к единице продукции, то есть к 1 мешку муки. Так, например, тариф перевозки из первого склада в третий магазин равен 800 руб./т • 0,050 т/меш. = 40 руб./меш.

Для установления баланса необходим дополнительный фиктивный магазин. Фиктивные тарифы перевозки зададим таким образом, чтобы они были дороже реальных тарифов.

Невозможность доставки грузов с третьего склада в третью хлебопекарню и с четвертого склада в пятую хлебопекарню задается в модели с помощью запрещающего тарифа, который должен превышать величину фиктивного тарифа. Таблица 3

Транспортная матрица задачи

Хлебопекарни				Запас, мешки
Склады	X3	Х4	Х5		Х6
С!	40	10	10	50	1600
С2	25	30	25	50	1400
С3	100	30	15	50	400
С4	10	20	100	50	1100
Спрос, мешки	1178	1249	679	1394	= 4500

3.3.4. Задание целевой функции

Формальная ЦФ, то есть суммарные затраты на все возможные перевозки муки, учитываемые в модели, задается следующим выражением:

L(X) = 40 х₁₁+10х₁₂ + 10х₁₃ +50 х₁₄ +

+25х₂₁+30х₂₂ +25х₂₃+50 х₂₄+

+ 100х₃₁ + 30х₃₂ +15х₃₃ +50 х₃₄+

+10 х₄₁+20 х₄₂ +100 х₄₃+50 х₄₄ min (руб./мес)..

При этом следует учитывать, что вследствие использования фиктивных тарифов реальная ЦФ будет меньше формальной ЦФ на стоимость найденных в процессе решения фиктивных перевозок.

Задание ограничений:

х₁₁+х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ =1600,

х₂₁+х₂₂ +х₂₃+ х_{24 =1400,}

х₃₁ + х₃₂ +х₃₃ + х₃₄=400,

х₄₁+ х₄₂ + х₄₃+ х₄₄ =1100,

х₁₁₊ х₂₁+ х₃₁ + х₄₁=1178,

х₁₂+х₂₂+ х₃₂+ х₄₂=1249,

х₁₃+х₂₃+х₃₃+ х₄₃=679,

х₁₄+ х₂₄+ х₃₄+ х₄₄ =1394,

хij

0( .

Решим задачу с помощью средств MS Excel. Аналогично пунктам 3.1.2-3.1.3-введем данные, целевую функцию в ячейку F3, ограничения - в ячейки С8:С15 (рис.16).

Стоимость фиктивных перевозок составит: 127410 руб.. Найдем стоимость необходимых перевозок: 127410-1400(сумма фиктивных расходов)= 126010 руб.

Из рис.13 мы также видим какое количество мешков муки из какого склада поступит на каждую хлебопекарню:

2х3 = 1178 мешка;

1х4 = 1027 мешка;

2х4 = 222 мешка;

1х5 = 573 мешка + гарантированная поставка 800 мешков;

4х5 = 106 мешков (перевозка запрещена).

Заключение

После проведенных вычислений, в первой задаче, на нахождение значения переменных, обеспечивающие минимизацию целевой функции, мы получили следующие результаты:

x₁ = А3 = 0, x₂ = В3 = 14,43, x₃ =С3 = 39,93, x₄ =D3 =15,10, x₅ =Е3=0

Во втором решении, одноиндексной задачи линейного программирования, получаем итоговый ответ:

х1 = 326шт./мес., х2 = 762 шт./мес., х3 = 12 шт./мес.,

L(X) = 39753 руб./мес.,

В транспортной задаче, номер 3, стоимость необходимых перевозок составила 126010 руб.

В данной работе мы не только исследовали, но и доказали выгодность проведения расчетов задач линейного программирования и, в частности, электронных таблиц Excel.

Библиографический список

1. А.Н. Карасев, Н.Ш. Кремер, Т.Н. Савельева [текст]: «Математические методы в экономике», 1996. – 354 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов [Текст]: Учебник / под ред В.И. Ермакова.- М.: ИНФА - М. - 656 с. - (серия «высшее образование»).

3. Т.Л. Партыкина, И.И. Попов Математические методы [Текст]: учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФА-М, 2005. - 464 с.: ил - (профессиональное образование).

4. Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для ВУЗов. - М.: Юнити, 2002.

5. Лященко И.Н. Линейное и нелинейное программирования [Текст]: И.Н.Лященко, Е.А.Карагодова, Н.В.Черникова. - К.: «Высшая школа», 1992, 372 с.

6. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. - M.: Наука, 1989. - 382с.

7. Балашевич В.А. [Текст]: Основы математического программирования. Мн.: Выш. шк. 2002. - 173с.

8. Branch M.A., T.F. Coleman, Y. Li. [Текст]: A Subspace, Interior, and Conjugate Gradient Method for Large-Scale Bound-Constrained Minimization Problems. SIAM Journal on Scientific Computing, Vol. 21, Number 1, pp. 1-23, 1999.