Решение задач линейного программирования (стр. 1 из 5)
Линейное программирование — область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными.
Программирование в управлении можно представить как процесс распределения ресурсов. Существует ряд различных методов, основанных на идеях математического программирования, однако, наиболее широкое применение нашел метод линейного программирования.
Применение методов линейного программирования актуально в сегодняшнее время, так как использование математических моделей является важным направлением совершенствования планирования и анализа деятельности компании. Представление данных в виде математической модели позволяет конкретизировать информацию, создавать и моделировать варианты, выбирать оптимальные решения.
Актуальность линейного программирования и обусловила выбор темы данной курсовой работы. Значимость выбранного вопроса определяется также тем, что использование метода линейного программирования представляет собой важность и ценность – оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями
Цель курсовой работы – на практическом примере продемонстрировать использование методов линейного программирования.
Задачи работы обусловлены ее целью:
Во-первых, раскрыть теоретическое содержание данной темы.
Во-вторых, сформулировать и найти оптимальное решение задач с помощью средств MS Excel.
1. Задачи линейного программирования
1. С помощью средств Excel найти решение задачи линейного программирования
L(Х) = 14х
-9х2 -х4 +6,4х5 —> min; 
0,9 х 
+ 10х2 -28х4 +5х5 
245,0,8 х
+ 1,7х2 -0,2х3 -0,5х4 =9,6 х
+ 4х3 - 7х4 + 6,3х5 54,8 х
+6,2х2 -4,8х4 +2,9х5 
17,x
0, (j = 
).2. Мебельный комбинат выпускает книжные полки А из натурального дерева со стеклом, полки В1 из полированной ДСП (древесно-стружечной плиты) без стекла и полки В2 из полированной ДСП со стеклом. Габариты полок А, В1 и В2 следующие: длина 1100 (d) мм, ширина 250 (w) мм, высота 300 (h) мм/ Размер листа ДСП 2x3 м.
 |
h
w
d
Габариты полок, выпускаемых мебельным комбинатом
При изготовлении полок А выполняются следующие работы: столярные, покрытие лаком, сушка, резка стекла, упаковка. Все операции, производимые в ходе столярных работ и упаковки, выполняются вручную. Полки В1 и В2 поставляются в торговую сеть в разобранном виде. За исключением операции упаковки, все остальные операции (производство комплектующих полки, резка стекла) при изготовлении полок В1 и В2, выполняются на специализированных автоматах.
Трудоемкость столярных работ по выпуску одной полки А составляет 3,2 (Тр1) ч. Производительность автомата, покрывающего полки А лаком - 2 (Пр1) полок в час, автомата, режущего стекло - 180 (Пр2) стекол в час. Сменный фонд времени автомата для покрытия лаком – 7,4 (ФВ1) ч, автомата для резки стекла - 7,1 (ФВ2) ч. Сушка полок, покрытых лаком, происходит в течение суток в специальных сушилках, вмещающих 55 (VI) полок. На упаковку полки А требуется 6 (Тр2) минуты. В производстве полок заняты 27 (Р1) столяров и 7 (Р2) упаковщиков.
Производительность автомата, производящего комплектующие полок В, и В2, равна 7 (Прз) полки в час, а его сменный фонд времени равен 7,8 (ФВ3) ч, трудоемкость упаковочных работ составляет 9 (Тр3) мин для полки В1 и 10 (Тр4) мин для полки В2.
От поставщиков комбинат получает в месяц 415 (Z1) листов полированной ДСП, 215 (Z2) листов ДВП (древесно-волокнистой плиты), а также 240 (Z3) листов стекла. Из каждого листа ДВП можно выкроить 6 (К1) задних стенок полок В1 и В2, а из каждого листа стекла - 13 (К2) стекол для полок А и В2.
Склад готовой продукции может разместить не более 370 (V2) полок и комплектов полок, причем ежедневно в торговую сеть вывозится в среднем 72(N) полок и комплектов. На начало текущего месяца на складе осталось 80 (Ост) полок, произведенных ранее. Себестоимость полки А равна 150 (С1) руб., полки В без стекла - 120 (С2) руб., со стеклом - 134 (Сз) руб.
Маркетинговые исследования показали, что доля продаж полок обоих видов со стеклом составляет не менее 43% (Д) в общем объеме продаж, а емкость рынка полок производимого типа составляет около 1100 (Vз) штук в месяц. Мебельный комбинат заключил договор на поставку заказчику 50 (З) полок типа В2 в текущем месяце.
Составьте план производства полок на текущий месяц. Известны цены реализации полок: полка А - 192 (Ц1) руб., полка В без стекла - 154 (Ц2) руб., полка В со стеклом - 147 (Ц3) руб.
| D | W | H | Тр1 | Тр2 | Тр3 | Тр4 | Р1 | Р2 | Пр1 | Пр2 | Пр3 | ФВ1 | ФВ2 | ФВ3 | Z1 | Z2 | Z3 |
| 1180 | 270 | 260 | 3,2 | 6 | 9 | 10 | 27 | 7 | 2 | 180 | 7 | 7,4 | 7,1 | 7,8 | 415 | 215 | 240 |
| K1 | K2 | V1 | V2 | V3 | N | ост | Д | З | С1 | С2 | С3 | Ц1 | Ц2 | Ц3 | |||
| 6 | 13 | 55 | 370 | 1100 | 72 | 80 | 43(A,B1) | 5A,12B2 | 150 | 120 | 134 | 192 | 154 | 147 |
3 варианта раскроя ДСП, 8 ч в смене; работа в 1 смену; 22 рабочих дня в месяц.
3. На складах хранится мука, которую необходимо завезти в хлебопекарни. Номера складов и номера хлебопекарен даны в таблице 1. Текущие тарифы перевозки муки [руб./т], ежемесячные запасы муки [т/мес] на складах и потребности хлебопекарен в муке [т/мес] указаны в табл. 2.
При этом необходимо учитывать, что из-за ремонтных работ временно нет возможности перевозить муку с некоторых складов в некоторые хлебопекарни. В табл. 1это показано в графе "Запрет перевозки" в формате № склада х № хлебопекарни. Например, «2x3» обозначает, что нельзя перевозить муку со склада № 2 в хлебопекарню № 3.
Кроме того, необходимо учесть, что некоторые хлебопекарни имеют договоры на гарантированную поставку муки с определенных складов. В табл. 1 это показано в графе "Гарантированная поставка" в формате № склада х № хлебопекарни = объем поставки. Например, «1x4=40» обозначает, что между складом № 1 и магазином № 4 заключен договор на обязательную поставку 40 т муки.
Необходимо организовать поставки наилучшим образом, учитывая, что мука хранится и транспортируется в мешках весом по 50 кг.
Таблица 1
Номер склада, хлебопекарни, запрещенные или гарантированные поставки
| № Варианта | № Складов | № Хлебопекарен | Запрет перевозки | Гарантированная поставка, т/мес. |
| 4 | 1,2, 3,4 | 3, 4, 5 | 3x3, 4x5 | 3x5=40 |
Таблица 2
Запасы, потребности и тарифы перевозок
| Склады | Хлебопекарни | |||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Запас, т/мес. | |
| 1 | 400 | 600 | 800 | 200 | 200 | 80 |
| 2 | 300 | 100 | 500 | 600 | 500 | 70 |
| 3 | 500 | 200 | 100 | 600 | 300 | 60 |
| 4 | 300 | 700 | 200 | 400 | 900 | 55 |
| 5 | 200 | 500 | 800 | 200 | 400 | 65 |
| Спрос, т/мес. | 77,86 | 56,78 | 58.88 | 62,44 | 73,92 | |
2. Теоретическая основа линейного программирования
Постановка практической задачи ЛП включает следующие основные этапы:
· определение показателя эффективности, переменных задачи,
· задание линейной целевой функции S(x), подлежащей минимизации или максимизации,
· задание ограничений.
Приведем сейчас общую математическую формулировку основной задачи линейного программирования.
Дана система линейных уравнений с n неизвестными:
a11 x1 + a11 x2 + …… + a11 xn
= 
b1 ,a21 x1 + a22 x2 + …… + a2n xn
= b2 ,am1 x1 + am2 x2 + …… + amn xn
= bm ,и линейная функция
f = c1 x1 + c2 x2 +………+ cn xn (1.2)