Решение задач моделирования и оптимизации с помощью программ Excel и Mathcad (стр. 4 из 6)
Цель работы.
Научиться составлять наилучший (оптимальный) план производства продукции с учетом ограниченного обеспечения материальными ресурсами. Все необходимые расчеты выполнять на ЭВМ, используя общеизвестные программы.
Выделение проблемной системы.
План производства продукции обычно представляется в виде таблицы, включающей перечень продукции и плановые объемы производства в натуральном выражении (штуки, тонны, литры, и т.д.) При разработке плана уточняется цель производства: максимизация прибыли, максимизация реализации, снижение затрат и пр.
Возможные объемы производства зависят от обеспеченности тремя видами ресурсов: труд, машины и оборудование, материалы и комплектующие.
В данной задаче выбираем проблемную систему, включающую номенклатуру производства с искомыми объемами. Критерием производства принимаем максимизацию прибыли. Из ресурсов будем учитывать лишь ограничения по комплектующим узлам и деталям.
Постановка задачи.
Туристическая фирма в летний сезон обслуживает в среднем 10000 туристов и располагает флотилией из двух типов судов. В месяц выделяются 9000 тонн горючего. Потребность в рабочей силе не превышает 1000 человек.
Задача сводится к определению количества каждого вида изделий для получения наибольшей прибыли, т.е. оптимальное соотношение объемов выпуска разных типов изделий в плане выпуска продукции. (Определить: количество судов первого и второго типа, чтобы обеспечить максимальный доход, при условии, что судов первого типа должно быть в два раза больше чем судов второго типа).
Дано:
Количество показателей на месяц:
пассажировместимость – 10000 человек, горючее – 9000 тонн, экипаж – 1000 человек.
Прибыль от эксплуатации судна:
первого типа – 20000000 рублей,
второго типа – 30000000 рублей.
Показатели по каждому типу судов:
| Показатели | Судно 1 типа | Судно 2 типа |
| Пассажировместимость, чел. | 2000 | 1000 |
| Горючее, тонны | 700 | 800 |
| Экипаж | 100 | 100 |
Найти максимальную прибыль.
Ручной поиск оптимального плана.
Цель: составить оптимальный план вручную
Используя стандартный программный пакет Excel, необходимо интуитивно задать пять возможных вариантов выпуска количества судов. Но по данным этой задачи это невозможно. Я нашла один наилучший интуитивный вариант выпуска количества продукции для получения максимальной прибыли.
| Судно 1 типа | 2 | |||||
| Судно 2 типа | 1 | |||||
| Расход на 1 продукцию | Расход по плану | |||||
| Показатели | Судно 1 типа | Судно 2 типа | Судно 1 типа | Судно 2 типа | Расход показателей по плану | Количество показателей |
| Пассажировместимость | 2000 | 1000 | 4000 | 1000 | 5000 | 10000 |
| Горючее | 700 | 800 | 1400 | 800 | 2200 | 9000 |
| Экипаж | 100 | 100 | 200 | 100 | 300 | 1000 |
| Прибыль, руб. | 20000000 | 30000000 | 40000000 | 30000000 | 70000000 | |
Вывод:
Данный план является наилучшим планом с помощью программы Excel.
Программный поиск оптимального решения.
1. Нахождение оптимального решения с помощью программы оптимизации в Excel:
| Судно 1 типа | 4 | |||||
| Судно 2 типа | 2 | |||||
| Расход на 1 продукцию | Расход по плану | |||||
| Показатели | Судно 1 типа | Судно 2 типа | Судно 1 типа | Судно 2 типа | Расход показателей по плану | Количество показателей |
| Пассажировместимость | 2000 | 1000 | 8000 | 2000 | 10000 | 10000 |
| Горючее | 700 | 800 | 2800 | 1600 | 4400 | 9000 |
| Экипаж | 100 | 100 | 400 | 200 | 600 | 1000 |
| Прибыль, руб. | 20000000 | 30000000 | 80000000 | 60000000 | 140000000 | |
Excel получил результат:
Судов первого типа 4 штуки, судов второго типа 2 штуки.
Прибыль составляет 140000000 руб.
Отчет:
| Целевая ячейка (Максимум) | ||||||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат | |||
| $F$9 | Прибыль, руб. Расход показателей по плану | 0 | 140000000 | |||
| Изменяемые ячейки | ||||||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат | |||
| $B$2 | Судно 1 типа | 0 | 4 | |||
| $B$3 | Судно 2 типа | 0 | 2 | |||
| Ограничения | ||||||
| Ячейка | Имя | Значение | Формула | Статус | Разница | |
| $B$2 | Судно 1 типа | 4 | $B$2=$B$3*2 | не связан. | 0 | |
| $F$6 | Пассажировместимость Расход показателей по плану | 10000 | $F$6<=$G$6 | связанное | 0 | |
| $F$7 | Горючее Расход показателей по плану | 4400 | $F$7<=$G$7 | не связан. | 4600 | |
| $F$8 | Экипаж Расход показателей по плану | 600 | $F$8<=$G$8 | не связан. | 400 | |
| $B$2 | Судно 1 типа | 4 | $B$2>=0 | не связан. | 4 | |
| $B$3 | Судно 2 типа | 2 | $B$3>=0 | не связан. | 2 | |
2. Нахождение оптимального решения в системе Mathcad.
Введем обозначения:
Суда первого типа – s.
Суда второго типа – n.
Прибыль от реализации всей продукции – P.
Mathcad получил результат:
Судов первого типа – 4 штуки, судов второго типа – 2 штуки.
Прибыль составляет 140000000 руб. Совпадает с результатом решения оптимизатора Excel.
Построение таблицы полученных решений.
| № | План найденный вручную | План, найденный программным путем | |
| 1 | Excel | Mathcad | |
| Прибыль, руб. | 70000000 | 140000000 | 140000000 |
Вывод:
Наибольшая прибыль от реализации продукции получается при решении с помощью программы оптимизатора в Excel и в системе Mathcad.
Анализ оптимального плана и решение менеджера.
Оптимальными планами являются решения, полученные с помощью программ Excel и Mathcad, которые получили одинаковый результат:
Судна первого типа – 4 штуки, судов второго типа – 2 штуки. Прибыль будет составлять 140000000 руб.
При нахождении оптимального плана пассажировместимость остается прежней, равной 10000 человек. Для дальнейшего увеличения прибыли целесообразно увеличить пассажировместимость. Также остается неиспользованными 4600 тонн горючего и не задействованными 400 человек экипажа. В результате заморожены оборотные средства, оборотный капитал, увеличиваются расходы по хранению горючего на складе и не занятости экипажа, теряется прибыль. Завоз горючего можно сократить, а незанятое количество экипажа уволить.
Задача №3 (билет №59 ТВ).
Транспортная задача.
Определение проблемы: В современных условиях большие транспортные расходы связаны:
- с простоями в ожидании погрузочно-разгрузочных работ;
- с нерациональными перевозками;
- с затратами на бензин;
- с порожними пробегами и т. д.
В связи с этим необходимо решать задачи оптимального планирования перевозок грузов из пунктов отправления в пункты назначения.
Оптимизировать план перевозок груза можно по какому-либо экономическому показателю:
- финансовые затраты на перевозку грузов;
- время, затрачиваемое на перевозку.
Для решения таких задач в линейном программировании разработаны следующие методы:
- Симплекс-метод;
- Метод потенциалов;
- Венгерский метод.
Постановка транспортной задачи: В общем случае заключается в том, что нужно доставить необходимое количество ресурсов от разных поставщиков к разным потребителям. При этом:
- затраты на транспортировку ресурсов должны быть минимальными;
- возможности поставщиков ограничены;
- нужно полностью выполнить заявки каждого потребителя.
Построение экономико-математической модели задачи:
1. Имеются m пунктов отправления (поставщиков грузов),
А1, А2, А3 …Аi, …Аm
на которых сосредоточены запасы како-либо груза в объемах соответственно:
а1, а2, а3 …аi, …аm
где величина аi – максимально возможное количество груза в i пункте отправления. Тогда суммарный запас груза у всех поставщиков составляет:
2. Имеются n пунктов назначения,
B1, B2, B3 …Bj, …Bn
которые подали заявки на поставку грузов в объемах соответственно:
b1, b2, b3, …bj, …bn