Решение краевых задач в среде виртуальной гибридной машины (стр. 2 из 4)

Метод аналогий (аналоговое моделирование) заключается в том, что для каждого уравнения математической модели подбирается физический объект, переменные состояния которого связаны таким же уравнением. В подавляющем большинстве случаев в качестве аналоговых объектов используются схемы с электрическими и электронными компонентами. Особенно простыми аналогами уравнений математических моделей являются уравнения электрических схем, полученные на основании законов Ома и Кирхгофа.

Итак, все рассмотренные методы используют конечно-разностную аппроксимацию, к рассмотрению которой мы переходим.

1.3 Конечные разности и аппроксимация производных

1.3.1 Определение конечных разностей

Конечная разность "вперед" для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением:

, где функция задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции f(x) определяющее соотношение имеет вид:

f(x) = f(x+h) - f(x)

Преобразование таблицы функции f(x) в функцию целочисленного аргумента g(i) осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i :

.

Повторные конечные разности n-го порядка в i-той точке для табличной функции g(i) определяются соотношением

Линейность конечно-разностного оператора

позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига E=(1+ ) и многочлены от оператора с целыми коэффициентами, такие, как

и т.п.,

где

должно рассматриваться в качестве оператора повторной разности k-го порядка .

Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g(i+1) :

g(i+1) = Eg(i) = (1+

)g(i)= g(i) + g(i).

Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить значение ординаты функции g(i) в точке (i+n) через конечные разности различных порядков:

где

- число сочетаний из n элементов по k ;

-

многочлен степени k от целой переменной n (

), имеющий k сомножителей. При k=n .

Относительно начала координат (i=0 - начало таблицы) функция целочисленной переменной g(n) представляется разложением по многочленам различных степеней от 0 до n. Для больших степеней конечные разности равны нулю.

С другой стороны, так как

, то

Таким образом, любая повторная конечная разность выражается взвешенной алгебраической суммой ординат табличной функции.

1.3.2 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования

Значение функции на удалении h от некоторой точки

можно выразить через значения производных в этой точке, разложив ее в ряд Тэйлора:

где

- оператор дифференцирования,

- оператор сдвига, выраженный через оператор p .

h- шаг по оси действительной переменной

Из равенства операторов сдвига, выраженных через p и

, можно получить взаимосвязь этих линейных операторов:

,

Оператор дифференцирования порядка n, перенесенный в точку, например, на 2 шага вперед представляется так:

Если алгебраически перемножить многочлены с конечно-разностными операторами и ограничиться операторами со степенью не выше n, то получится одна из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Например, для n=2 и четырех точечном задании функции f(x), отбросив повторные разности выше третьего порядка, получим:

.

Выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим второй вариант аппроксимации оператора дифференцирования:

.

Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, так как шаг h=1 и

:

.

Для k-той производной в точке m от начала интервала [0,n]:

После выполнения операций возведения многочленов в степень и их перемножения, конечные разности со степенями больше n отбрасываются, а оставшиеся

заменяются выражением . Раскрыв скобки, подставив и сгруппировав подобные члены, получим аппроксимирующую сумму из (n+1)-й ординаты функции:

.

Коэффициенты

минимальны для точек середины интервала (m=n/2) и максимальны - для крайних. Аналогично ведут себя и коэффициенты в выражении погрешности аппроксимации.

Таким образом, для любой внутренней точки из группы выбранных равномерно расположенных ординат можно сформировать выражение, аппроксимирующее производную взвешенной суммой.

1.4 Представление уравнений конечно-разностной моделью

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Для аппроксимации таких уравнений удобно заранее построить таблицы коэффициентов для выражений производных по заданному числу значений функции. В бакалаврской работе воспользуемся аппроксимацией по трем и пяти точкам, коэффициенты для которых приведены в таблицах 1, 2, 3, 4. В крайних справа колонках таблиц приведены коэффициенты выражений, вынесенных в заголовок колонки, для погрешности аппроксимации производной в выбранной точке. В выражениях погрешности присутствуют значения производных функции с порядками выше порядка аппроксимируемой производной.

Таблица 1 - Аппроксимация первой производной по трем точкам

	y(0)	y(1)	y(2)
y’(0)	-3	4	-1	2
y’(1)	-1	0	1	-1
y’(2)	1	-4	3	2

Таблица 2 - Аппроксимация второй производной по трем точкам

	1	-2	1	-12, 2
	1	-2	1	0, -1
	1	-2	1	12, -2

Таблица 3 - Аппроксимация первой производной по пяти точкам

	-25	48	-36	16	-3	12
	-3	-10	18	-6	1	-3
	1	-8	0	8	-1	2
	-1	6	-18	10	3	-3
	3	-16	36	-48	25	12

Таблица 4 - Аппроксимация второй производной по пяти точкам