Решение линейных интегральных уравнений (стр. 2 из 3)

получаем утверждение теоремы.

Результат, полученный в теореме 1, можно усилить, если воспользоваться методом оптимальных коэффициентов.

Лемма 2. Для всякого простого p существуют оптимальные коэффициенты a₁,…,a_s такие, что каково бы ни было a>1+ε₁, при любом ε₁

(0;1) выполняется оценка

Доказательство.

Пусть z-произвольное целое из интервала Определим функцию Т_s(z) равенством

Пусть при z=a достигается минимум этой функции. Тогда, очевидно,

(13)

Так согласно лемме 1(1, с.21)

,

то при произвольном ε > 0 получим из (13),

Отсюда следует, что

(14)

Введём обозначения

Так из (14) в силу определения величины T_s(a) следует оценка

(15)

то пользуясь неравенством, получим

(16)

Чтобы оценить сумму Σ₂, заметим, что для нетривиальных решений сравнения

(17)

Выполняется неравенство

(18)

Действительно, согласно определению величины δ_p(m) в левой части неравенства (14) отличны от нуля только такие слагаемые, для которых m₁,…,m_s является нетривиальным решением сравнения (5.43). так как любое из этих слагаемых не превосходит всей суммы, то для каждого нетривиального решения сравнения получим

,

Чем неравенство (5.44) доказано.

Пусть функция φ(m₁,…,m_s) определена равенствами

Тогда пользуясь леммой 18 (1, c.101), получим

. (19)

Обозначим через q минимальное значение произведения

, где m₁,…,m_s –произвольное нетривиальное решение сравнения (17).

Тогда, выбирая в лемме 26 (1, с.151)

,

получим, что при любых натуральных m₁,…,m_s, удовлетворяющих условию m₁,…,m_s

p, выполняется оценка

.

Пользуясь этой оценкой и замечая, что в силу (18)

при любом ε ≤ a-1 положительном получим из (19)

(20)

Выберем a_v=a^v-1 (v=1,2,…,s) (21)

тогда, пользуясь оценками (16) и (20), при

получим неравенство, указанное в лемме:

Для завершения доказательства леммы остается убедиться, что величины

, определенные равенством (21), являются оптимальными коэффициентами.

Действительно, из (5.39), пользуясь леммой 1(1, c.21) получим

Переписывая эту оценку в виде

убеждаемся, что целые a_v=a^v-1 будут оптимальными коэффициентами, чем лемма 2 доказана полностью.

Следствие. Если Ф

, то, каково бы ни было для погрешности квадратурной формулы

построенной при N=p с помощью оптимальных коэффициентов, указанных в лемме 2, справедлива оценка

,

Действительно, пользуясь леммами 19 (1, с.106) и 2, получим утверждение следствия

Пусть α>0,

, p - простое, N=p, a₁,…a_s – оптимальные коэффициенты по модулю p, удовлетворяющие условию леммы 2, и величины γ₀, n определены равенствами

(22)

Теорема 2 Если

, то при произвольно малом для решения уравнения

(23)

выполняется равенство

где

(24)

Доказательство.

Выберем в лемме 1

, где γ₀ определено первым из равенств (22). Тогда для решения уравнения (23) получим

(25)

где функция F(P,Q₁,…,Q_n) определена равенством

И принадлежит классу

Пусть при k=1,2,…,N и v=1,2,…,n точки M_k,v определены равенством (24). Тогда согласно квадратурной формуле, указанной в следствии леммы 2, при s=rn и

справедливо равенство

(26)

(27)

Пользуясь равенствами (22), получим

Но тогда

и, следовательно

Пользуясь этой оценкой, из (25) и (26) получим

Отсюда, так как в силу выбора n выполняется оценка

Следует утверждение теоремы.

2. Практическая часть по решению линейных интегральных уравнений

Для написания функции, находящей решение линейного интегрального уравнения составим алгоритм. Представим алгоритм в виде блок-схемы.

Используя данную блок-схему, напишем соответствующую функцию.

Функция решения линейных интегральных уравнений будет реализована на С++.

bool solvefredholm2(const double& a,

const double& b,

const int& n,

ap::real_1d_array& y,

const double& epsilon)

{

bool result;

double h;

double t;

double m1;

double x;

ap::real_2d_array smat;

int i;

int j;

int u;

int k1;

int m;

smat.setbounds(1, n, 1, n+1);

y.setbounds(1, n);

h = (b-a)/(n-1);

i = 1;

do

{

x = a+(i-1)*h;

smat(i,n+1) = f(x);

j = 1;

do

{

smat(i,j) = -h*k(x, a+(j-1)*h);

if( j==1||j==n )

{

smat(i,j) = smat(i,j)/2;

}

if( j==i )

{

smat(i,j) = 1+smat(i,j);

}

j = j+1;

}

while(j<=n);

i = i+1;

}

while(i<=n);

y.setbounds(1, n);

result = true;

for(i = 1; i <= n; i++)

{

k1 = i;

m1 = fabs(smat(i,i));

for(j = i+1; j <= n; j++)

{

if( m1<fabs(smat(j,i)) )

{

m1 = fabs(smat(j,i));

k1 = j;

}

}

if( fabs(m1)>=epsilon )

{

for(j = i; j <= n+1; j++)

{

t = smat(i,j);

smat(i,j) = smat(k1,j);

smat(k1,j) = t;

}

for(k1 = i+1; k1 <= n; k1++)

{

t = smat(k1,i)/smat(i,i);

smat(k1,i) = 0;

for(j = i+1; j <= n+1; j++)