Приведём блок-схему реализации данного метода:

3. Анализ результатов.

Скорость сходимости итерационного процесса зависит от заданной матрицы коэффициентов. В зависимости от вида исходных данных( матрицы коэффициентов и матрицы b) программа подбирает оптимальный параметр релаксации w(при котором решение достигается за минимальное число итераций).

Для достижения наивысшей скорости сходимости итерационного процесса для уравнения, заданного на рис.3 программой был выбран параметр релаксации w=1,26. Таким образом, была применена верхняя релаксация. Заданная точность e=0,0001 была достигнута за 40 итераций.

График зависимости количества итераций от параметра релаксации приведен на рис 1.

Рис. 1

Для достижения наивысшей скорости сходимости итерационного процесса для уравнения, заданного на рис.4 программой был выбран параметр релаксации w=0,98. Таким образом, была применена нижняя релаксация. Заданная точность e=0,0001 была достигнута за 17 итераций. График зависимости количества итераций от параметра релаксации приведен на рис 2.

Рис. 2

Правильность решения СЛАУ была проверена с помощью программного пакета Mathcad 2000 professional. Отметим, что программа даёт правильное решение СЛАУ почти во всех случаях, когда каждый элемент главной диагонали является максимальным в своей строке.

Вывод

Программа, разработанная в данной курсовой работе, реализует метод Зейделя для решения СЛАУ 6-го порядка. Она даёт гарантированно правильное решение системы линейных уравнений, если каждый элемент главной диагонали матрицы коэффициентов является единственным максимальным в своей строке, ненулевым, либо справедливы условия: максимальный элемент строки является единственным максимальным в своём столбце, ненулевым, а ни один из остальных элементов столбца не является максимальным в своей строке, все элементы каждой строки кроме максимального одинаковы.

При исходных данных:

была достигнута точность 0,0001 в решении:

за 2 итерации при параметре релаксации w=0,97.

Программа строит график зависимости количества итераций от параметра релаксации для данной СЛАУ, находит параметр релаксации w, при котором решение достигается за минимальное количество итераций и, разумеется, само решение. Программа проста в эксплуатации и нетребовательна к ресурсам. Реализованная в современной среде разработки Delphi 5.0, она без труда может быть доработана или исправлена.

Недостатки программы: 1) применима не для всех систем линейных уравнений; 2)оптимальный параметр релаксации w вычисляется методом подбора, и, поэтому, количество итераций, требуемое для его отыскания достаточно велико(около 18000), однако, для современных ПК, это не является затруднением.

Список использованной литературы

1. Волков Е.А. Численные методы. ¾ М.: Наука, 1987. ¾ 254 с.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. ¾ М.: Наука, 1978. ¾ 512 с.

3. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. ¾ Томск, МП "Раско", 1992. ¾270 с.

4. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. ¾ М.: Наука, 1989. ¾432с.

5. Кэнту М. Delphi 4 для профессионалов ¾ СПб: «Питер», 1999 ¾1200с.

6. Delphi 5.0 help.

Приложение(распечатка программы, результатов)

Распечатка программы:

unit kurs1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

Grids, StdCtrls, ComCtrls, ToolWin, Menus, Unit1, TeEngine, Series,

ExtCtrls, TeeProcs, Chart;

type

TFormk1 = class(TForm)

StringGrid1: TStringGrid;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

StringGrid2: TStringGrid;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

StringGrid3: TStringGrid;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Button1: TButton;

MainMenu1: TMainMenu;

Chart1: TChart;

N2: TMenuItem;

N3: TMenuItem;

N4: TMenuItem;

N1: TMenuItem;

Label1: TLabel;

Series1: TFastLineSeries;

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure matrix;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure N1Click(Sender: TObject);

procedure N3Click(Sender: TObject);

procedure N4Click(Sender: TObject);

procedure decision;

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Formk1: TFormk1;

// formk1: Tmainmenu;

implementation

var

n,m,i,j,k,l,number_of_iteration,min :integer;

delta,E,sum,max,W,tmp :extended;

A : array[1..6,1..6] of extended;

B : array[1..6] of extended;

X : array[1..6] of extended;

Xp: array[1..6] of extended;

am: array[1..200] of integer;

W_all:array[1..200] of extended;

procedure TFormk1.matrix;

begin

randomize;

for i:=1 to n do stringgrid1.cells[i-1,0]:='*X'+inttostr(i);

for i:=0 to n-1 do

for j:=1 to m do

StringGrid1.cells[i,j]:='2';

for i:=0 to n-1 do

StringGrid1.cells[i,i+1]:='3';

end;

{$R *.DFM}

procedure Tformk1.decision;

begin

delta:=E+1;

number_of_iteration:=0;

for i:=1 to 6 do X[i]:=B[i]/A[i,i];

while (delta>E) and (number_of_iteration < 100) do

begin

for i:=1 to 6 do Xp[i]:=X[i];

for i:=1 to 6 do

begin

sum:=0;

for j:=1 to 6 do sum:=sum+A[j,i]*X[j];

X[i]:=W*(B[i]- sum + A[i,i]*X[i])/A[i,i] + (1-W)*Xp[i];

end;

delta:=abs(X[1]-Xp[1]);

for i:=1 to 6 do

if abs(X[i]-Xp[i])>delta then delta:=abs(X[i]-Xp[i]);

inc(number_of_iteration);

end;

procedure TFormk1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

n:=6;m:=6;

matrix;

randomize;

stringgrid2.cells[0,0]:='*1';

for j:=1 to m do

StringGrid2.cells[0,j]:='5';

end;

procedure TFormk1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

series1.clear;

for i:=0 to n-1 do

for j:=1 to m do

A[i+1,j]:=strtofloat(StringGrid1.cells[i,j]);

for j:=1 to m do

B[j] :=strtofloat(StringGrid2.cells[0,j]);

for i:=1 to 6 do

begin

max:=abs(A[1,i]);

for j:=1 to 6 do

if abs(A[j,i])>=abs(max) then

begin

max:=A[j,i];

m:=j;

end;

if m<>i then

begin

for l:=1 to 6 do

begin

tmp:=A[l,m];

A[l,m]:=A[l,i];

A[l,i]:=tmp;

end;

tmp:=b[m];

b[m]:=b[i];

b[i]:=tmp;

end;

E:=0.0001;

W:=0.2;

l:=0;

while W<=1.8 do

begin

decision;

inc(l);

am[l]:=number_of_iteration;

W_all[l]:=W;

series1.addxy(W,number_of_iteration,'',clteecolor);

W:=W+0.01;

end;

min:=am[1];

for i:=1 to 200 do

if (am[i]<=min) and (am[i]<>0) then

begin

min:=am[i];

W:=W_all[i];

end;

decision;

if (number_of_iteration>100) or (delta>E) then

begin

label2.Caption:='Программа не может решить данную СЛАУ.';

label3.Visible:=false;

end

else

begin

Chart1.BottomAxis.Automatic:=false;

Chart1.BottomAxis.minimum:=0.2;

Chart1.BottomAxis.maximum:=1.8;

Chart1.BottomAxis.increment:=0.1;

Chart1.LeftAxis.Automatic:=false;

Chart1.LeftAxis.minimum:=0;

Chart1.LeftAxis.maximum:=100;

Chart1.LeftAxis.increment:=5;

label6.visible:=false;

label7.visible:=true;

label8.visible:=true;

label1.visible:=true;

StringGrid3.visible:=true;

stringgrid3.cells[0,0]:='*1';

for i:=1 to 6 do

StringGrid3.cells[0,i]:=floattostr(X[i]);

end;

procedure TFormk1.N1Click(Sender: TObject);

begin

close;

end;

procedure TFormk1.N3Click(Sender: TObject);

begin

chart1.visible:=true;

end;

procedure TFormk1.N4Click(Sender: TObject);

begin

chart1.Visible:=false;

end;

end.

Результаты, рис. 3 и 4:

Рис. 3

Рис. 4

Решение системы линейных уравнений (стр. 3 из 3)

График зависимости количества итераций от параметра релаксации приведен на рис 1.

Рис. 1

Рис. 2