Розв’язання задач лінійного програмування (стр. 2 из 5)

Графічний спосіб розв'язування ґрунтується на геометричній інтерпретації задачі лінійного програмування, тому він досить простий для розуміння. Недоліком є те, що графічним способом можна розв’язати задачу, в якій в обмеженнях є лише дві змінні, потрібно намагатися малювати лінії з найбільшою точністю, в протилежному випадку можна отримати велику похибку, а в результаті неправильне рішення.

1.3 Симплекс-метод

Симплекс-метод застосовується до рішення будь-якої задачі лінійного програмування[3].

Симплекс метод в порівнянні з графічним методом забезпечує більш раціональне рішення задачі. Розпочинаючи з будь-якої вершини багатокутника, твореного обмеженнями, переходять до розрахунку тільки тієї вершини, в якій значення лінійної форми буде більшим, чим в попередніх. Решту варіантів не обчислюють. Тоді при кінцевому числі кроків може бути найдений оптимальний план. Таким чином, виконується впорядкований перебір вершин, при яких відбувається постійне збільшення лінійної форми. Тому симплекс-метод також називають методом послідовного покращення оптимального плану. Рішення задачі симплекс-методом включає в себе два етапи. Спочатку потрібно найти вершину багатокутника обмежень, координати якої визначають початковий опорний план. Потім послідовно переходимо від однієї вершини багатокутника до іншої, яка сусідня попередній. Так як прилеглих вершин багато, то кожний раз вибирається така вершина, при переході до якої забезпечується найбільший приріст лінійної форми. На кожному кроці процесу покращення плану виконується перевірка на оптимальність. Очевидно, що план буде оптимальний, якщо серед вершин, які прилягають до даної, немає такої, при переході до якої відбувається ріст лінійної функції.

За звичай, симплекс-метод реалізується у вигляді симплекс-таблиць. У першому стовпчику цієї таблиці зазначають вектори, які входять в базис. У другому – коефіцієнти цільової функції, які відповідають векторам, що входять в базис. Третій стовпчик – компоненти опорного плану.

Головною перевагою симплекс-методу є його універсальність, будь-яку задачу лінійного програмування можна з легкістю вирішити як за допомогою програмного забезпечення так і вручну. Якщо обчислення і створення симплекс-таблиць пишеться вручну, то єдиною трудністю може стати обчислення: якщо велика кількість обмежень через неуважність можна отримати хибне рішення.

1.4 Двоїстий симплекс-метод

Двоїстий симплекс-метод і симплекс-метод за алгоритмом досить схожі. Однак двоїстий симплекс-метод можна застосовувати при рішенні задач лінійного програмування, вільні члени системи рівнянь якої можуть бути будь-якими числами (при рішенні задачі симплексним методом ці числа передбачалися ненегативними).

Нехай за умовою задачі потрібно визначити максимальне значення функції:

.(1.4.1)

Нехай

(1.4.2)

де

- одиничні вектори.

Для того, щоб вирішити задачу двоїстим симплекс-методом потрібно виконати дві умови. Спочатку необхідно знайти так званий псевдо план задачі. Рішення системи лінійних рівнянь(1.4.2), приймаючи до уваги базис(одиничні вектори), називається псевдопланом задачі, якщо всі умови даної системи задоволені. Потім рішення зводиться до перевірки отриманого псевдоплану. Якщо він оптимальний, то отримане значення і є розв’язком задачі. Якщо ж ні, то потрібно знову встановлювати псевдоплан. Після цього, вибирають рядок, що дозволяє, за допомогою визначення найбільшого по абсолютній величині негативного числа стовпця вектора

і результуючого стовпчика, знаходження найменшого по абсолютній величині відношення елементів (

) і рядка до відповідного негативним елементам результуючого рядка. Знаходять новий псевдоплан і цикл розв’язку задачі повторюється.

В порівнянні з методами, описаними раніше, двоїстий симплекс-метод дає змогу вирішувати задачі лінійного програмування, системи обмежень яких при позитивному базисі містять вільні члени будь-якого знаку. Цей метод дозволяє зменшити кількість перетворень системи обмежень, а також розміри симплексної таблиці.

1.5 Транспортна задача

В найпростішому варіанті транспортна задача формулюється наступним чином: є n постачальників із запасами однорідного штучного товару

та m споживачів із потребами цього товару . Не порушуючи загальності, можна вважати транспортну задачу закритою, тобто, що сума всіх запасів дорівнює сумі всіх потреб, в противному разі задача є відкритою і простими відомими методами (введенням фіктивного постачальника чи фіктивного споживача) зводиться до закритої. Нехай матриця є матрицею цін перевезень, тобто кожен її елемент є ціною за перевезення одиниці продукції від i–го постачальника j–му споживачу, а матриця такої ж розмірності є планом перевезень, тобто кожне є цілим невід’ємним числом, що дорівнює кількості товару, що перевозиться від i–го постачальника j–му споживачу. Метою розв’язку транспортної задачі є пошук такого плану перевезень Х, при якому загальна вартість перевезень була б найменшою з можливих за умови, що весь товар від постачальників перевозиться до споживачів. Транспортна задача є задачею цілочислового лінійного програмування. З основами лінійного програмування можна ознайомитись, з науковим обґрунтуванням алгоритмів розв’язку задач лінійного програмування, зокрема транспортної задачі. Відзначимо лише, що по-перше, жоден з відомих алгоритмів не є досконалим, а по-друге, зажди пропонується шукати один оптимальний план перевезень, а решта оптимальних планів залишається або без уваги, або в кращому випадку залишається на розгляд методами після оптимізаційного аналізу. Досі було важко запропонувати достойну альтернативу цим методам через відсутність потужної обчислювальної техніки, але тепер це можливо[4].

Для сучасної ЕОМ не представляє ніяких складностей вирішення задач за допомогою даного методу, що можна сміливо віднести до першої переваги методу розв’язку транспортної задачі. Навіть враховуючи те, що кількість варіантів дуже швидко ростиме зі збільшенням кількостей постачальників, споживачів, запасів та потреб, в багатьох випадках ЕОМ розв’яже задачу цим методом швидше, ніж людина – іншим методом. Зазначимо, що описаний алгоритм підрахунку кількості можливих варіантів є водночас і алгоритмом власне перебору цих варіантів.

Другою перевагою цього методу є те, що в ході перебору легко отримати не один, а всі оптимальні плани перевезень

, для яких досягається спільне мінімальне значення вартості перевезень, які в свою чергу, для зручності аналізу можна згрупувати по кількості відмінних елементів.

Третьою суттєвою перевагою цього методу є його прозорість (порівняно з іншими методами) та можливість легкого програмування. Єдиним недоліком цього методу є те, що при великих розмірах матриці

та великих значеннях обсягів потреб та запасів час роботи програми може складати кілька годин, хоча і такий час може бути виправданий, коли мова йде про конкретну практичну задачу.

1.6 Вибір методу розв’язку задачі

Так як симплекс-метод є універсальним, будь-яку задачу лінійного програмування можна з легкістю вирішити як за допомогою програмного забезпечення так і вручну, то для вирішення заданої задачі він підійде найкраще. За допомогою програми можна буде вирішувати велику кількість схожих задач.

2 Опис метода розв’язку задачі

Нехай у задачі представлено n видів виробничої діяльності, інтенсивності використання котрих (шукані величини) складають

. Для здійснення усіх видів виробничої діяльності є в наявності видів ресурсів, можливі обсяги споживання яких обмежені значеннями . Витрати і-го ресурсу на одиницю продукції j-го виду виробництва дорівнюють . Тому сума, яка являє собою загальний обсяг і-го ресурсу, що використовується n видами виробництва, не може перевищувати величини .

Структура цільової функції

відбиває внесок кожного виду виробничої діяльності в загальний результат. У випадку максимізації величина являє собою прибуток від j-го виду виробничої діяльності на одиницю відповідної продукції, а у випадку мінімізації характеризує питомі витрати. Зауважимо, що «корисність» деякого виду виробничої діяльності не можна встановити тільки за значенням відповідного коефіцієнта цільової функції, оскільки обсяг споживання обмежених ресурсів також є важливим чинником. Оскільки усі види виробничої діяльності, подані в моделі, претендують на використання обмежених ресурсів, відносна корисність деякого виду виробництва (у порівнянні з іншими видами виробничої діяльності) залежить як від величини коефіцієнта цільової функції , так і від інтенсивності споживання ресурсів . Тому можлива ситуація, коли через занадто великі витрати обмежених ресурсів деякий j-й вид виробничої діяльності, що характеризується високим прибутком, використовувати недоцільно (тобто в оптимальному розв’язку відповідна змінна виявиться небазисною).