Сравнительный анализ численных методов (стр. 2 из 8)

.

График функции представлен на рисунке 2.2

Рисунок 2.2 - График исследуемой функции

Находим отрезок, в котором функция монотонно возрастает или убывает, а также где концы отрезка будут иметь разные знаки.

Выбираем концы отрезка: a= -1; b = 0. График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.3

Рисунок 2.3 - График функции на выбранном отрезке

Проверяем существование корня на отрезке по условию

f (-1) = - 0,95998

f (0) =0,42279

0,405869<0, следовательно, на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность:

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Находим первую производную функции:

В точке aпервая и вторая производные равны:

,

В точке bпервая и вторая производные равны:

,

Выбираем тот конец отрезка, который совпадает со знаком 2-ой производной.

, x₀=-1, -0,95998* ( ) =1,90998;

По формуле

находим:

, , x>0.001

x>0.001

x>0.001

,

x<0.001

Необходимая точность достигнута при n=4, т.е. на 4-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=

, т.е. последовательность x_n, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 - График функции

для исследуемой функции

2. Дано уравнение

x³-0,2x²+0,4x-1,4=0.

Решить его методом касательных с точностью решения

=0,001.

Для нахождения корня исследуем функцию

.

График функции представлен на рисунке 2.5

Рисунок 2.5 - График исследуемой функции

Находим отрезок, в котором функция монотонно возрастает или убывает, а также где концы отрезка будут иметь разные знаки.

Выбираем концы отрезка: a= -0.1; b = 1.5 График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.6

Рисунок 2.6 - График функции на выбранном отрезке

Проверяем существование корня на отрезке по условию

-3,066375

3,066375 <0, следовательно, на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность:

6,2225>0

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Находим первую производную функции:

;

В точке aпервая и вторая производные равны:

,

В точке bпервая и вторая производные равны:

,

Выбираем тот конец отрезка, значение функции в котором совпадает со знаком 2-ой производной.

Принимаем:

x₀= 1,5

2.125*6.55=13,91875,

По формуле

находим:

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x<0.001

Необходимая точность достигнута при n=4, т.е. на 4-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=

, т.е. последовательность x_n, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 - График функции

для исследуемой функции

2.3 Метод хорд

2.3.1 Общие сведения

Как и в методе хорд, функция f (x) должна удовлетворять на отрезке [a, b] следующим условиям:

1) существование производных 1-го и 2-го порядков;

2) f ’ (x)

0;

3) производные 1-го и 2-го порядков знакопостоянны на отрезке [a, b].

За начальное приближение x₀ принимается один из концов отрезка [a, b], где значение функции имеет такой же знак, что и 2-я производная. За x₁ выбирается второй край отрезка. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения х₀, х₁,… точек пересечения хорды с осью абсцисс (рисунок 2.8).