Сравнительный анализ численных методов (стр. 3 из 8)

Рисунок 2.8 - Метод хорд

Формула для n-го приближения имеет вид:

Итерационный процесс останавливают при выполнении условия

; где ε - заданная точность.

2.3.2 Решение нелинейного уравнения методом хорд

1. Дано уравнение

tg(0.36*x +0.4) =x².

Решить его методом хорд с точностью решения

=0,001.

Как в предыдущем методе для нахождения корня исследуем функцию

.

Выбираем концы отрезка: a= -1; b = 0. График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.9

Рисунок 2.9 - График функции на выбранном отрезке

По данным из п.2.2.2 за x₀ выбираем тот конец отрезка, который совпадает со знаком 2-ой производной. А за x₁ второй конец отрезка.

x₀=-1; x₁=0.

По формуле

находим:

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x<0.001

Необходимая точность достигнута при n=7, т.е. на 6-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=

, т.е. последовательность x_n, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является (рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 - График функции

для исследуемой функции

2. Дано уравнение x³-0,2x²+0,4x-1,4=0. Решить его методом хорд с точностью решения

=0,001.

Как в предыдущем методе для нахождения корня исследуем функцию

.

График функции представлен на рисунке 2.5

Выбираем концы отрезка: a= -0.1; b = 1.5 График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.11

Рисунок 2.11 - График функции на выбранном отрезке.

По данным из п.2.2.2 за x₀ выбираем тот конец отрезка, который совпадает со знаком 2-ой производной и удовлетворяет условию

. А за x₁ второй конец отрезка.

x₀=1,5; x₁=0,5.

По формуле

находим:

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x>0.001

x<0.001

Необходимая точность достигнута при n=9, т.е. на 8-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=

, т.е. последовательность x_n, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является (рисунок 2.12).

Рисунок 2.12 - График функции

для исследуемой функции.

2.4 Вывод

Судя по графикам и сравнивая эти два метода, можно сделать вывод, что искомый корень находится в промежутке между найденными приближенными корнями, т.е. для функции

на отрезке [-0.48059; - 0.48028], а для для функции на отрезке [1,0627; 1,06289]

На рисунках 2.12, 2.13 приведены графики функций на данных отрезках.

Рисунок 2.12 - График функции

Рисунок 2.13 - График функции

Анализируя эти два метода, можно отметить, что в методе хорд, чтобы достичь заданной точности, необходимо выполнять больше итераций, чем в методе касательных. Так, в первом примере, в методе хорд мы выполнили 6 итераций, а в методе касательных всего 4; во втором примере в методе хорд мы выполнили 8 итераций, а в методе касательных всего 4. С другой стороны, в методе хорд не нужно вычислять производную функции на каждом шаге. Таким образом, как мне кажется, метод касательных является более трудоемким.

2.5 Метод простых итераций

2.5.1 Общие сведения

Пусть дано уравнение f (x) =0, (1)

Метод простых итераций уточнения корней уравнения (1) состоит в замене этого уравнения эквивалентным ему уравнением

(2)

и построении последовательности

(3),

где

,

Например

x₀ = (а + b) /2

Если не удается выразить х из уравнения (1), то эквивалентное уравнение и эквивалентную функцию можно построить, например, так:

Последовательность (3) называют методом простых итераций уточнения корней уравнения (1).

Теорема (достаточное условие сходимости метода простых итераций). Пусть функция

в эквивалентном уравнении (2) определена и дифференцируема на отрезке

Тогда, если существует число q такое, что