Сравнительный анализ численных методов (стр. 6 из 8)

_{…………………………………………. .}

x_n=c_n1x₁+c_n2x₂+c_n3x₃+…c_nnx_n+d_n

Условием сходимости для матрицы С выполняется, если сумма модулей коэффициентов меньше единицы по строкам или по столбцам, т.е.

, или .

Необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы А были ненулевыми.

Для преобразования системы можно выполнить следующие операции:

x₁₌a₁₁^-1 (c₁-a₁₂x₂ - a₁₃x₃-… - a_1nx_n)

x₂₌a₂₂^-1 (c₂-a₂₁x₂ - a₂₃x₃-… - a_2nx_n)

………………………. .

x_n=a_nn^-1 (c_n-a_n1x₂ - a_n3x₃-… - a_n-1nx_n-1)

В результате получим систему:

x₁₌0+ c₁₂x₂+ c₁₃x₃-…+ c_1n-1x_n-1+ c_1nx_n+d₁

x₂₌ c₂₁x₂+0 +c₂₃x₃+…+ c_2n-1x_n-1+ c_2nx_n+d₂

_{………………………………………………………. .}

x_n= c_n1x₁+ c_n2x₂ +c_n3x₃+…+ c_nn-1x_n-1+ 0+d_n

В ней на главной диагонали матрицы С находятся нулевые элементы, остальные элементы выражаются по формулам:

с_ij=-a_ij/a_ii, d_i=c_i/a_ii (i,j=1,2,3…n, i<>j)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения х₁ ^(k), х₂ ^(k), х₃ ^(k) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям х₁ ^(k-1), х₂ ^(k-1), х₃ ^(k-1).

4.2.2 Решение СЛАУ методом простых итераций

Решить СЛАУ методом простых итераций с точностью

.

Для удобства преобразуем систему к виду:

Условие сходимости:

,

Принимаем приближение на 0-ом шаге:

,

,

На 1-м шаге выполняем следующее:

Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

На 2-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

:

На 3-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

:

На 4-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса

:

На 5-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

На 6-м шаге выполняем следующее:

Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:

:

Необходимая точность достигнута на 6-й итерации. Таким образом, итерационный процесс можно прекратить.

4.2.3 Программа для решения СЛАУ методом простых итераций

На рисунке 4.1 представлена программа для решения систем алгебраических линейных уравнений методом простых итераций.

Листинг программы приведен в приложении Г.

Рисунок 4.1 - Программа "Метод простых итераций"

4.3 Метод Зейделя

4.3.1 Описание метода

В этом методе результаты, полученные на k-том шаге, используются на этом же шаге. На (k+1) - й итерации компоненты приближения

вычисляются по формулам:

………………………………………….

Этот метод применим к система уравнений в виде Ax=B при условии, что диагональный элемент матрицы коэффициентов A по модулю должен быть больше, чем сумма модулей остальных элементов соответствующей строки (столбца).

Если данное условие выполнено, необходимо проследить, чтобы система была приведена к виду, удовлетворяющему решению методом простой итерации и выполнялось необходимое условие сходимости метода итераций:

, либо

4.3.2 Решение СЛАУ методом Зейделя

Решить СЛАУ методом Зейделя с точностью

.

Эту систему можно записать в виде:

В этой системе сразу видно, что выполняется условие, где диагональные элементы матрицы коэффициентов по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов соответствующей строки.

Для удобства преобразуем систему к виду:

Условие сходимости:

,

Принимаем приближение на 0-ом шаге:

На 1-м шаге выполняем следующее:

Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений