Сравнительный анализ численных методов (стр. 7 из 8)
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
: 
На 2-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
: 
На 3-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
: 
На 4-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
: 
Необходимая точность достигнута на 4-й итерации. Таким образом, итерационный процесс можно прекратить.
4.3.3 Программа дл решения СЛАУ методом Зейделя
На рисунке 4.2 представлена программа для решения систем алгебраических линейных уравнений методом простых итераций.
Листинг программы приведен в приложении Г.
Рисунок 4.2 - Программа "Метод Зейделя"
4.4 Сравнительный анализ
Можно заметить, что в методе Зейделя быстрее мы достигаемой нужной точности, в нашем случае в точность была достигнута на 4-й итерации, когда в методе простых итераций она была достигнута на 6-й итерации. Но в то же время в методе Зейделя ставится больше условий. Поэтому вначале нужно произвести иногда довольно трудоемкие преобразования. В таблице 4.1 приведены результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации:
Таблица 4.1 - Результаты решения СЛАУ
| № шага | Метод постой итерации | Метод Зейделя |
| 0 | x1=1.34x2=-1.75x3=0.5x4=0.65 | x1=1.34x2=-1.75x3=0.5x4=0.65 |
| 1 | x1=1.277x2=-1.56227x3=0.3147x4=0.5335 | x1=1.277x2=-1.57047x3=0.3324x4=0.5837 |
| 2 | x1=1.31335x2=-1.6127x3=0.3647x4=0.5884 | x1=1.32469x2=-1.5974x3=0.355808x4=0.58638 |
| 3 | x1=1.315391x2=-1.5935x3=0.34936x4=0.57867 | x1=1.318014x2=-1.5945x3=0.354137x4=0.58556 |
| 4 | x1=1.3173416x2=-1.5968x3=0.35577x4=0.58589 | x1=1.318367x2=-1.59481x3=0.35437x4=0.58554 |
| 5 | x1=1.3179137x2=-1.59467x3=0.35371x4=0.58462 | |
| 6 | x1=1.3181515x2=-1.59506x3=0.35455x4=0.58557 |
5. Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования
5.1 Методы численного дифференцирования
5.1.1 Описание метода
Предположим, что в окрестности точки xiфункция F (x) дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной:
Для оценки погрешностей формул численного дифференцирования используется формула Тейлора:
(1)Отбрасывая последнее слагаемое, мы можем вычислить производную.
Тогда отброшенное слагаемое будет являться погрешностью в формуле (1). В зависимости от того, какая точка выбирается за x отличают правостороннюю и левостороннюю производную.
Если для вычисления
вместо x возьмем xi-1, то получится левосторонняя производная (2), а если xi+1, правосторонняя производная (1). 
(1) 
(2)Отсюда видно, что порядок погрешности x - xi, т.е. при использовании
xi-1 или xi+1, порядка O (h).
При достаточно очевидном результате выражения (1) и (2) имеют низкую точность, т.е. высокую погрешность. Поэтому на практике больше используются так называемая центрально-симметричная формула, имеющая большой порядок точности.
Очевидно, что эта формула используется только для внутренних точек отрезка.
5.1.2 Нахождение производной
Вычислим производную функции f (x) =sin (x) в какой-либо точке на отрезке [0,π] двумя способами.
Разобьем отрезок на части:
h=
Найдем производную в точке x=
.По центрально-симметричной формуле:
По формуле правосторонней производной:
=cos ( ) =0.9659,значит вычисление производной по центрально-симметричной формуле более точнее.
5.2 Методы численного интегрирования
5.2.1 Общие сведения
Для вычисления определённого интеграла используется формула:
Вычисление интеграла в таком виде не всегда удается, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.
В теории численного интегрирования используются следующие формулы для вычисления:
Формула левых прямоугольников:
Формула правых прямоугольников:
У этих формул погрешность порядка О (h).
Улучшения результатов можно добиться путем интерполирования (интерполирование можно вести на отрезке [a,b]). Интерполяция первого и второго порядка носит
Формула трапеции:
Формула Симпсона
, где n=2mh=b-a/n
5.2.2 Нахождение определенного интеграла
Вычислим интеграл для функции
разными способами.Разобьем отрезок [0,
] на части: h=
По формуле левых прямоугольников:
По формуле трапеции:
По формуле Симпсона:
При m=3:
При m=2:
Сравним полученные результаты с табличным:
=1Можно сделать вывод, при вычислении определенного интеграла наибольшую степень точности дает формула Симпсона.
5.3 Решение ОДУ
5.3.1 Решение ОДУ методом Эйлера
, 
Далее приведены результаты вычислений.
