Частотные характеристики линейных систем управления (стр. 2 из 3)
Как известно, решение рассматриваемого уравнения имеет вид:
,где
- решение однородного уравнения 
, (5)описывающего собственные колебания системы, а
- частное решение неоднородного уравнения (4), описывающего вынужденные колебания системы.Таким образом, колебания системы складывается из собственных колебаний, которые определяются при равенстве нулю внешнего воздействия только ненулевыми начальными условиями, и вынужденных колебаний, которые определяются только внешним воздействием при нулевых начальных условиях.
Таким образом, наряду терминологией теории дифференциальных уравнений относительно решений последних (общее и частное решения), иногда более выразительной является терминология теории колебаний (собственные и вынужденные колебания). Наряду с ними в теории управления используется собственная терминология: вместо частного решения, соответствующего определенной правой части уравнения или вынужденных колебаний, которые определяются внешней силой, говорят о выходном процессе
, соответствующем, входному процессу 
или о преобразовании процесса в процесс , или о реакции системы на воздействие .Методы определения частного решения линейного дифференциального уравнения при произвольной правой части рассматриваются в курсе математики. В данном курсе основной интерес представляет не формальная сторона дела, а содержательная. Она ярче всего проявляется в случае, когда внешнее воздействие представляется в виде суммы гармонических воздействий. То же самое можно сказать и о методах определения собственных колебаний. Существуют эффективные алгоритмы вычисления собственных колебаний линейных систем, но нас должна интересовать в первую очередь качественная сторона дела.
Общее решение однородного уравнения (5) имеет вид:
, (6)где: li - корни характеристического уравнения
, (7)а Ci - произвольные постоянные.
Характеристическое уравнение получается формальной заменой выражения i-й производной в выражении однородного дифференциального уравнения на i-ю степень корня в выражении характеристического уравнения.
Нередко выражения однородного уравнения (5) и характеристического уравнения (7) записываются в несколько иной форме через произвольные параметры ai, а именно в виде:
, (8) 
. (9)Дело в том, что в соответствии с давно сложившейся традицией нумерация коэффициентов полинома начинается с нуля при переменной в старшей степени, а затем с понижением степени переменной индекс коэффициента при нем увеличивается. Другими словами, используются выражение (9) для характеристического уравнения системы, описываемой дифференциальным уравнением (8).
Нам кажется, более удобным нумеровать коэффициенты полиномов по убывающим степеням, как это показано в выражениях (7), (5). Конечно, это вопрос вкуса, но только до тех пор, пока не возникает необходимости воспользоваться известными результатами исследования линейного дифференциального уравнения, выраженных через коэффициенты дифференциального или характеристического уравнений. Как правило, они записаны через коэффициенты, индексы которых возрастают с убыванием степени переменной в выражении полинома или порядка производной в выражении дифференциального уравнения. В первую очередь это относится к алгебраическим критериям устойчивости и интегральным показателям качества, о которых речь пойдет ниже.
Конечно, можно переписать известные результаты в новых обозначениях, но это удобство не будет распространяться за пределы одного руководства. Вместо этого, будем пользоваться убывающей индексацией, т.е. обозначениями вида (7), (5), а в тех немногочисленных случаях, когда надо воспользоваться готовыми результатами, в которых использована возрастающая индексация, т.е. обозначения вида (8), (9), это будет специально отмечено.
Строго говоря, общее решение уравнения (5) имеет указанный вид только в случае различных корней характеристического уравнения, но для качественных рассуждений случаи совпадающих (кратных) корней можно и не рассматривать. Действительно, малые изменения параметров характеристического уравнения должны вызвать малое изменение значений корней характеристического уравнения и малые изменения в решении однородного уравнения. При обсуждении качественной картины собственных колебаний, таким образом, случаи кратных корней можно исключить: они ничего не добавят в качественную характеристику зависимости собственных колебаний расположения корней на плоскости комплексного переменного. Из сказанного не следует, что случай кратных корней не представляет никакого интереса. Особенности такого расположения корней оказывают существенное влияние на вычислительную сторону дела, когда надо определить не общее решение, а собственные колебания зависящие от начальных условий. Однако в отличие от прежних времен, когда все вычисления должны быть проделаны исследователем вручную и потому вычислительная сторона дела была столь же важной, что и качественная, ныне все вычисления, связанные с исследованием линейных систем, можно выполнить с помощью широко распространенного программного обеспечения.
Впрочем, все сказанное о кратных корнях имеет отношение и к простым корням. Существуют вполне достаточно эффективные способы вычисления коэффициентов при определении конкретного выражения собственных колебаний, но мы опустим их, изложив самые простые, которых достаточно для демонстрационных примеров.
Выражение (6) является общим решением уравнения (5), но собственные колебания соответствующей системы описываются выражением (6) при конкретных значениях коэффициентов Ci. Они могут быть определены многими способами. Чаще всего эти постоянные определяются из начальных условий. Начальными условиями (для собственных колебаний) являются значения процесса x(t) его производных в нулевой момент времени. Дифференцируя выражение (6) в нулевой момент времени можно получить систему уравнений для определения постоянных Ci.
(10)Данная система уравнений имеет специальный вид, который позволяет получить ее решение сравнительно простыми методами. Однако при первом знакомстве с обсуждаемой проблемой можно иметь в виду (применять) общие методы решения систем линейных уравнений.
Частное решение уравнения (3) при определенной правой части, а точнее при определенном выражении внешнего воздействия y(t), можно интерпретировать как результат преобразования этого воздействия системой, описываемой уравнением (3).
Нахождение частного решения нередко следует следующей схеме. Предполагается, что при заданном внешнем воздействии y(t), частное решение x(t) или, что то же самое, выходная координата системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, имеет определенный с точностью до (значений) параметров вид. Подставляя в дифференциальное уравнение (определенное) значение внешнего воздействия и предполагаемого частного решения, получим уравнение относительно параметров. Если из полученного уравнения параметры могут быть определены, то частное решение или, что то же самое, реакция системы на данное внешнее воздействие определено.
Приступая к решению этого вопроса, мы имеем в ввиду не столько определение самого частного решения по терминологии теории дифференциальных уравнений и даже не определении выходного процесса по заданному входному. Хотя это достаточно важный для теории автоматического управления вопрос, основной целью настоящего раздела является введение центрального для классической теории понятия частотной характеристики и, далее, передаточной функции. Затем, с использованием этих понятий можно обсудить вопросы определения выходного процесса по заданному входному спектральными методами.
Рассмотрим частный случай гармонического внешнего воздействия. Известно, что суммой гармоник можно представить сигнал практически произвольной формы. По основному свойству линейных систем – принципу суперпозиции – зная реакцию системы на произвольное гармоническое воздействие, нетрудно определить реакцию на произвольное воздействие. Действительно, реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Самой простой составляющей (слагаемым) произвольного входного воздействия является гармоническое воздействие в виде синусоидального или косинусоидального. Это справедливо, если иметь в виду функции действительного аргумента. Однако сами гармонические функции раскладываются на еще более простые, на экспоненциальные.