Частотные характеристики линейных систем управления (стр. 1 из 3)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

кафедра информационных технологий и автоматизированных систем

РЕФЕРАТ

на тему:

«Частотные характеристики линейных систем управления»

Минск, 2008

Математическим аппаратом исследования САУ являются дифференциальные уравнения, которые описывают движение системы и являются уравнениями динамики. Из уравнений динамики, положив все производные равными нулю, можно получить уравнения статики, которые описывают поведение системы в установившемся режиме.

Дифференциальные уравнения САУ и ее элементов, составленные в соответствии с физическими законами их функционирования и факторами, от которых зависят переменные уравнений, практически всегда являются нелинейными. Дифференциальные уравнения САУ, записанные в виде системы уравнений или одного дифференциального уравнения высокого порядка представляют собой математическую модель системы. Математическая модель является основой для анализа свойств системы и степени их соответствия поставленным требованиям. Итак, исходная математическая модель САУ является нелинейной. Отсутствие однозначных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не позволяет создать какие-либо общие эффективные методы анализа и синтеза САУ. Именно это и послужило причиной развития идеи линеаризации, т.е. замены исходной нелинейной модели линейной, близкой по решению к исходной модели в определенном диапазоне изменения начальных условий и параметров.

Линеаризация нелинейных функций в области малых отклонений (всех координат от установившихся значений) основана на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора в окрестности установившихся значений (положения покоя, например) и ограничении линейными членами разложения.

Пусть система управления описывается дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной

,

где F и F₁ - некоторые нелинейные функции. Представим переменные, входящие в уравнение в следующем виде:

Здесь

, - отклонение координат и от установившихся значений и соответственно. Разложим нелинейные функции в ряд Тейлора в окрестности установившегося значений и ограничимся линейными членами

,

.

Нулевой индекс при частных производных означает, что они определены при установившихся значениях всех переменных.

Допустим, что отклонения переменных от установившегося значений настолько малы, что остаточными членами можно пренебречь как бесконечно малыми высших порядков малости по сравнению с членами, содержащими отклонения в первой степени. В соответствии с этим предположениям будем полагать R = 0 , R₁ = 0.

C учетом сделанных предположений и обозначений дифференциальные уравнения системы примут вид

,

где

.

Уравнение установившегося движения можно получить из последнего уравнения, положив все отклонения равными нулю:

. (1)

Установившееся движение в рассматриваемом случае не представляет предмета исследования. Вычтем из полученного уравнения движения в окрестности уравнение установившегося движения и получим уравнение в отклонениях, поведение которых нас и интересует. В дальнейшем, в целях сокращения записей, знак D будем опускать. Получим

. (2)

Напомним еще раз, что все переменные, фигурирующие в последнем уравнении, являются отклонениями от установившихся значений. Поэтому для того, чтобы получить решение исходного уравнения

, к решению уравнения (2) необходимо добавить установившееся значение .

В приведенной выше цепочке формальных рассуждений относительно перехода от нелинейного уравнения к линеаризованному в отклонениях не хватает только конкретности, касающейся определения установившихся значений.

В самом простом и распространенном частном случае под установившимся значением понимается положение покоя. Оно характеризуется равенством нулю всех производных, начиная с первой, всех координат системы, т.е.

.

Таким образом, для определения установившихся значений всех координат необходимо определить только значения

и . Они определяются в результате решения уравнения (2.1), которое в рассматриваемом случае имеет вид:

.

При решении данного равнения могут встретиться три исхода. В первом из них существует одно решение (

) этого уравнения, во втором – несколько и в третьем – ни одного. Первый случай означает существование одного состояния покоя, второй – нескольких и третий – отсутствия состояния покоя. В последнем случае ни о каком исследовании в окрестности состояния покоя не может быть и речи – его просто нет.

В случае нескольких решений выбирается одно из них и проводится линеаризация в окрестности выбранного состояния покоя. Проще всего обстоит дело, когда имеется только одно состояние покоя. Линеаризация проводится в его окрестности, и все результаты исследования линеаризованной системы относятся к этой окрестности. Не следует, правда, забывать, что в связи с использованием рядов Тейлора при линеаризации результат исследования линеаризованной системы тем ближе к истинным, чем меньше колебания отклоняются от состояния покоя. Отметим еще одну особенность линеаризованных систем: состояние покоя всегда находится в начале координат. Это тоже связано со способом линеаризации, дифференциальные уравнения являются уравнениями в отклонениях (от состояния покоя).

В рамках линейной теории эти вопросы не обсуждаются. В ней рассматриваются следствия предположения, что колебания систем описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Уравнение в отклонениях (2) описывает возмущенное движениесистемы, являющееся результатом действия каких-либо возмущений, приводящих к появлению отклонений от установившегося режима. Уравнение установившегося режима описываетневозмущенное движение. Нахождение в состоянии покоя тоже движение, хотя и специфическое.

Сложность решения дифференциальных уравнений высокого порядка без применения вычислительной техники и невозможность на основании численных решений создания общих методов анализа и синтеза систем привели к широкому использованию методов, связанных с применением математического аппарата преобразований Лапласа и Фурье. Эти методы и составили сущность так называемой классической теории автоматического управления.

Необходимо отметить, что существуют нелинейные функции, которые невозможно линеаризовать посредством разложения ряд Тейлора. В этом случае используют специальные методы, разработанные для исследования нелинейных систем.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

(3)

является базовой математической моделью классической теории автоматического регулирования и управления. Напомним основные свойства решения данного уравнения, которые, кстати, должны быть хорошо известны из курса высшей математики.

Под решением дифференциального уравнения понимается выражение функции времени

, которое ему удовлетворяет. Другими словами, если функция является решением уравнения (3), то подстановка данной функции в рассматриваемое уравнение приводит к тождеству. При этом функция считается заданной.

В курсе высшей математики выражение линейного дифференциального уравнения n-го порядка приводится в несколько иной форме, а именно в виде

, (4)

где функция

считается заданной.

Конечно, если считать функцию

известной, то не трудно определить правую часть уравнения (3) и считать функцию в уравнении (4) заданной. Таким образом, более детальное, чем в уравнении (4) представление правой части (3) используется только при описании САУ. Полезность такой детализации видна только при совместном рассмотрении нескольких взаимосвязанных между собой систем или одной системы, состоящей из нескольких звеньев, каждое из которых описывается уравнением рассматриваемого вида.